Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7150 / 9219
↖ ↑ ↗
← N 78.058580°
W140.723877°		 ← 126.38 m → N 78.058580°
W140.718384°		 →
↑
126.40 m
↓
↑
126.40 m
↓
N 78.057443°
W140.723877°		 ← 126.39 m →
15 975 m²		 N 78.057443°
W140.718384°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7150 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9219 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.109107971191406 y=0.140678405761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.109107971191406 × 216)
    floor (0.109107971191406 × 65536)
    floor (7150.5)     		tx = 7150
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140678405761719 × 216)
    floor (0.140678405761719 × 65536)
    floor (9219.5)     		ty = 9219
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7150 / 9219 ti = "16/7150/9219"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7150/9219.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7150 ÷ 216
    7150 ÷ 65536     		x = 0.109100341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9219 ÷ 216
    9219 ÷ 65536     		y = 0.140670776367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.109100341796875 × 2 - 1) × π
    -0.78179931640625 × 3.1415926535     		Λ = -2.45609499
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140670776367188 × 2 - 1) × π
    0.718658447265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.2577320983054
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45609499} λ = -2.45609499}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2577320983054))-π/2
    2×atan(9.56138028870902)-π/2
    2×1.46658777746948-π/2
    2.93317555493896-1.57079632675     		φ = 1.36237923
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45609499} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.723877°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36237923 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.058580°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7150 KachelY 9219 -2.45609499 1.36237923 -140.723877 78.058580
    Oben rechts KachelX + 1 7151 KachelY 9219 -2.45599912 1.36237923 -140.718384 78.058580
    Unten links KachelX 7150 KachelY + 1 9220 -2.45609499 1.36235939 -140.723877 78.057443
    Unten rechts KachelX + 1 7151 KachelY + 1 9220 -2.45599912 1.36235939 -140.718384 78.057443
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36237923-1.36235939) × R
    1.98399999999932e-05 × 6371000     		dl = 126.400639999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36237923-1.36235939) × R
    1.98399999999932e-05 × 6371000     		dr = 126.400639999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45609499--2.45599912) × cos(1.36237923) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.206911511066296 × 6371000     		do = 126.379020431511m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45609499--2.45599912) × cos(1.36235939) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.20693092168125 × 6371000     		du = 126.390876197732m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36237923)-sin(1.36235939))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206911511066296-0.20693092168125)×R²
    abs(-2.45599912--2.45609499)×1.94106149533357e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.94106149533357e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.94106149533357e-05×40589641000000     		ar = 15975.1383537269m²