Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7150 / 5263
↖ ↑ ↗
← N 53.969012°
W 22.895508°		 ← 1 437.19 m → N 53.969012°
W 22.873535°		 →
↑
1 437.43 m
↓
↑
1 437.43 m
↓
N 53.956085°
W 22.895508°		 ← 1 437.64 m →
2 066 176 m²		 N 53.956085°
W 22.873535°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7150 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5263 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436431884765625 y=0.321258544921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436431884765625 × 214)
    floor (0.436431884765625 × 16384)
    floor (7150.5)     		tx = 7150
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.321258544921875 × 214)
    floor (0.321258544921875 × 16384)
    floor (5263.5)     		ty = 5263
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7150 / 5263 ti = "14/7150/5263"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7150/5263.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7150 ÷ 214
    7150 ÷ 16384     		x = 0.4364013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5263 ÷ 214
    5263 ÷ 16384     		y = 0.32122802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4364013671875 × 2 - 1) × π
    -0.127197265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.39960200
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32122802734375 × 2 - 1) × π
    0.3575439453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.12325743189716
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39960200} λ = -0.39960200}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12325743189716))-π/2
    2×atan(3.07485403517838)-π/2
    2×1.25636664317296-π/2
    2.51273328634591-1.57079632675     		φ = 0.94193696
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39960200} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.895508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94193696 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.969012°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7150 KachelY 5263 -0.39960200 0.94193696 -22.895508 53.969012
    Oben rechts KachelX + 1 7151 KachelY 5263 -0.39921850 0.94193696 -22.873535 53.969012
    Unten links KachelX 7150 KachelY + 1 5264 -0.39960200 0.94171134 -22.895508 53.956085
    Unten rechts KachelX + 1 7151 KachelY + 1 5264 -0.39921850 0.94171134 -22.873535 53.956085
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94193696-0.94171134) × R
    0.000225620000000037 × 6371000     		dl = 1437.42502000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94193696-0.94171134) × R
    0.000225620000000037 × 6371000     		dr = 1437.42502000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39960200--0.39921850) × cos(0.94193696) × R
    0.000383500000000037 × 0.588222711883889 × 6371000     		do = 1437.19190515774m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39960200--0.39921850) × cos(0.94171134) × R
    0.000383500000000037 × 0.588405155574787 × 6371000     		du = 1437.63766590517m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94193696)-sin(0.94171134))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.588222711883889-0.588405155574787)×R²
    abs(-0.39921850--0.39960200)×0.000182443690897593×R²
    0.000383500000000037×0.000182443690897593×6371000²
    0.000383500000000037×0.000182443690897593×40589641000000     		ar = 2066175.98560636m²