Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7150 / 5214
↖ ↑ ↗
← N 76.603637°
W101.447754°		 ← 283.02 m → N 76.603637°
W101.436768°		 →
↑
283.06 m
↓
↑
283.06 m
↓
N 76.601091°
W101.447754°		 ← 283.07 m →
80 121 m²		 N 76.601091°
W101.436768°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7150 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5214 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.218215942382812 y=0.159133911132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.218215942382812 × 215)
    floor (0.218215942382812 × 32768)
    floor (7150.5)     		tx = 7150
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159133911132812 × 215)
    floor (0.159133911132812 × 32768)
    floor (5214.5)     		ty = 5214
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7150 / 5214 ti = "15/7150/5214"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7150/5214.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7150 ÷ 215
    7150 ÷ 32768     		x = 0.21820068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5214 ÷ 215
    5214 ÷ 32768     		y = 0.15911865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.21820068359375 × 2 - 1) × π
    -0.5635986328125 × 3.1415926535     		Λ = -1.77059732
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15911865234375 × 2 - 1) × π
    0.6817626953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.14182067502411
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.77059732} λ = -1.77059732}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14182067502411))-π/2
    2×atan(8.51492643846178)-π/2
    2×1.45389100378709-π/2
    2.90778200757418-1.57079632675     		φ = 1.33698568
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.77059732} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.447754°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33698568 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.603637°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7150 KachelY 5214 -1.77059732 1.33698568 -101.447754 76.603637
    Oben rechts KachelX + 1 7151 KachelY 5214 -1.77040558 1.33698568 -101.436768 76.603637
    Unten links KachelX 7150 KachelY + 1 5215 -1.77059732 1.33694125 -101.447754 76.601091
    Unten rechts KachelX + 1 7151 KachelY + 1 5215 -1.77040558 1.33694125 -101.436768 76.601091
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33698568-1.33694125) × R
    4.44299999999842e-05 × 6371000     		dl = 283.063529999899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33698568-1.33694125) × R
    4.44299999999842e-05 × 6371000     		dr = 283.063529999899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.77059732--1.77040558) × cos(1.33698568) × R
    0.000191739999999996 × 0.23168615805095 × 6371000     		do = 283.022143631608m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.77059732--1.77040558) × cos(1.33694125) × R
    0.000191739999999996 × 0.231729378907993 × 6371000     		du = 283.07494117339m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33698568)-sin(1.33694125))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.23168615805095-0.231729378907993)×R²
    abs(-1.77040558--1.77059732)×4.3220857043641e-05×R²
    0.000191739999999996×4.3220857043641e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.3220857043641e-05×40589641000000     		ar = 80120.7195868384m²