Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71499 / 63125
↖ ↑ ↗
← N  6.607315°
E 16.377869°		 ← 303.40 m → N  6.607315°
E 16.380615°		 →
↑
303.32 m
↓
↑
303.32 m
↓
N  6.604588°
E 16.377869°		 ← 303.40 m →
92 028 m²		 N  6.604588°
E 16.380615°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71499 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63125 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.545497894287109 y=0.481609344482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.545497894287109 × 217)
    floor (0.545497894287109 × 131072)
    floor (71499.5)     		tx = 71499
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.481609344482422 × 217)
    floor (0.481609344482422 × 131072)
    floor (63125.5)     		ty = 63125
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71499 / 63125 ti = "17/71499/63125"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71499/63125.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71499 ÷ 217
    71499 ÷ 131072     		x = 0.545494079589844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63125 ÷ 217
    63125 ÷ 131072     		y = 0.481605529785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.545494079589844 × 2 - 1) × π
    0.0909881591796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.28584773
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.481605529785156 × 2 - 1) × π
    0.0367889404296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.115575864983955
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28584773} λ = 0.28584773}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.115575864983955))-π/2
    2×atan(1.12251967125488)-π/2
    2×0.843057870772389-π/2
    1.68611574154478-1.57079632675     		φ = 0.11531941
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28584773} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.377869°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11531941 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.607315°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71499 KachelY 63125 0.28584773 0.11531941 16.377869 6.607315
    Oben rechts KachelX + 1 71500 KachelY 63125 0.28589567 0.11531941 16.380615 6.607315
    Unten links KachelX 71499 KachelY + 1 63126 0.28584773 0.11527180 16.377869 6.604588
    Unten rechts KachelX + 1 71500 KachelY + 1 63126 0.28589567 0.11527180 16.380615 6.604588
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11531941-0.11527180) × R
    4.76100000000035e-05 × 6371000     		dl = 303.323310000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11531941-0.11527180) × R
    4.76100000000035e-05 × 6371000     		dr = 303.323310000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28584773-0.28589567) × cos(0.11531941) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.993358082400667 × 6371000     		do = 303.397127402006m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28584773-0.28589567) × cos(0.11527180) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.993363559471056 × 6371000     		du = 303.398800240282m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11531941)-sin(0.11527180))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993358082400667-0.993363559471056)×R²
    abs(0.28589567-0.28584773)×5.47707038889289e-06×R²
    4.79399999999686e-05×5.47707038889289e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×5.47707038889289e-06×40589641000000     		ar = 92027.6746508802m²