Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 71498 / 63135
↖ ↑ ↗
← N  6.580032°
E 16.375122°		 ← 303.35 m → N  6.580032°
E 16.377869°		 →
↑
303.39 m
↓
↑
303.39 m
↓
N  6.577303°
E 16.375122°		 ← 303.35 m →
92 033 m²		 N  6.577303°
E 16.377869°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71498 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63135 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.545490264892578 y=0.481685638427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.545490264892578 × 217)
    floor (0.545490264892578 × 131072)
    floor (71498.5)     		tx = 71498
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.481685638427734 × 217)
    floor (0.481685638427734 × 131072)
    floor (63135.5)     		ty = 63135
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71498 / 63135 ti = "17/71498/63135"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71498/63135.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71498 ÷ 217
    71498 ÷ 131072     		x = 0.545486450195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63135 ÷ 217
    63135 ÷ 131072     		y = 0.481681823730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.545486450195312 × 2 - 1) × π
    0.090972900390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.28579980
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.481681823730469 × 2 - 1) × π
    0.0366363525390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.115096495987755
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28579980} λ = 0.28579980}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.115096495987755))-π/2
    2×atan(1.12198169908075)-π/2
    2×0.842819771681617-π/2
    1.68563954336323-1.57079632675     		φ = 0.11484322
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28579980} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.375122°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11484322 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.580032°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71498 KachelY 63135 0.28579980 0.11484322 16.375122 6.580032
    Oben rechts KachelX + 1 71499 KachelY 63135 0.28584773 0.11484322 16.377869 6.580032
    Unten links KachelX 71498 KachelY + 1 63136 0.28579980 0.11479560 16.375122 6.577303
    Unten rechts KachelX + 1 71499 KachelY + 1 63136 0.28584773 0.11479560 16.377869 6.577303
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11484322-0.11479560) × R
    4.76199999999982e-05 × 6371000     		dl = 303.387019999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11484322-0.11479560) × R
    4.76199999999982e-05 × 6371000     		dr = 303.387019999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28579980-0.28584773) × cos(0.11484322) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.993412762091142 × 6371000     		do = 303.350537660244m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28579980-0.28584773) × cos(0.11479560) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.993418217785461 × 6371000     		du = 303.352203622136m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11484322)-sin(0.11479560))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993412762091142-0.993418217785461)×R²
    abs(0.28584773-0.28579980)×5.4556943187567e-06×R²
    4.79300000000293e-05×5.4556943187567e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×5.4556943187567e-06×40589641000000     		ar = 92032.8683691344m²