Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7149 / 2219
↖ ↑ ↗
← N 78.442226°
W 22.917480°		 ← 489.51 m → N 78.442226°
W 22.895508°		 →
↑
489.61 m
↓
↑
489.61 m
↓
N 78.437822°
W 22.917480°		 ← 489.70 m →
239 716 m²		 N 78.437822°
W 22.895508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7149 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2219 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436370849609375 y=0.135467529296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436370849609375 × 214)
    floor (0.436370849609375 × 16384)
    floor (7149.5)     		tx = 7149
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135467529296875 × 214)
    floor (0.135467529296875 × 16384)
    floor (2219.5)     		ty = 2219
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7149 / 2219 ti = "14/7149/2219"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7149/2219.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7149 ÷ 214
    7149 ÷ 16384     		x = 0.43634033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2219 ÷ 214
    2219 ÷ 16384     		y = 0.13543701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43634033203125 × 2 - 1) × π
    -0.1273193359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.39998549
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13543701171875 × 2 - 1) × π
    0.7291259765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.29061681144476
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39998549} λ = -0.39998549}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29061681144476))-π/2
    2×atan(9.88103053462896)-π/2
    2×1.46993571913822-π/2
    2.93987143827645-1.57079632675     		φ = 1.36907511
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39998549} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.917480°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36907511 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.442226°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7149 KachelY 2219 -0.39998549 1.36907511 -22.917480 78.442226
    Oben rechts KachelX + 1 7150 KachelY 2219 -0.39960200 1.36907511 -22.895508 78.442226
    Unten links KachelX 7149 KachelY + 1 2220 -0.39998549 1.36899826 -22.917480 78.437822
    Unten rechts KachelX + 1 7150 KachelY + 1 2220 -0.39960200 1.36899826 -22.895508 78.437822
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36907511-1.36899826) × R
    7.68500000001282e-05 × 6371000     		dl = 489.611350000817m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36907511-1.36899826) × R
    7.68500000001282e-05 × 6371000     		dr = 489.611350000817m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39998549--0.39960200) × cos(1.36907511) × R
    0.000383489999999986 × 0.200355942728483 × 6371000     		do = 489.512602538604m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39998549--0.39960200) × cos(1.36899826) × R
    0.000383489999999986 × 0.20043123386263 × 6371000     		du = 489.696554951109m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36907511)-sin(1.36899826))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.200355942728483-0.20043123386263)×R²
    abs(-0.39960200--0.39998549)×7.5291134147365e-05×R²
    0.000383489999999986×7.5291134147365e-05×6371000²
    0.000383489999999986×7.5291134147365e-05×40589641000000     		ar = 239715.958885169m²