Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71488 / 75968
↖ ↑ ↗
← S 27.527758°
E 16.347656°		 ← 270.79 m → S 27.527758°
E 16.350403°		 →
↑
270.83 m
↓
↑
270.83 m
↓
S 27.530194°
E 16.347656°		 ← 270.79 m →
73 338 m²		 S 27.530194°
E 16.350403°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71488 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75968 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.545413970947266 y=0.579593658447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.545413970947266 × 217)
    floor (0.545413970947266 × 131072)
    floor (71488.5)     		tx = 71488
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.579593658447266 × 217)
    floor (0.579593658447266 × 131072)
    floor (75968.5)     		ty = 75968
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71488 / 75968 ti = "17/71488/75968"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71488/75968.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71488 ÷ 217
    71488 ÷ 131072     		x = 0.54541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75968 ÷ 217
    75968 ÷ 131072     		y = 0.57958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54541015625 × 2 - 1) × π
    0.0908203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.28532043
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57958984375 × 2 - 1) × π
    -0.1591796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.500077736836426
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28532043} λ = 0.28532043}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.500077736836426))-π/2
    2×atan(0.606483511770542)-π/2
    2×0.545173155202471-π/2
    1.09034631040494-1.57079632675     		φ = -0.48045002
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28532043} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.347656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48045002 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.527758°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71488 KachelY 75968 0.28532043 -0.48045002 16.347656 -27.527758
    Oben rechts KachelX + 1 71489 KachelY 75968 0.28536836 -0.48045002 16.350403 -27.527758
    Unten links KachelX 71488 KachelY + 1 75969 0.28532043 -0.48049253 16.347656 -27.530194
    Unten rechts KachelX + 1 71489 KachelY + 1 75969 0.28536836 -0.48049253 16.350403 -27.530194
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48045002--0.48049253) × R
    4.25099999999956e-05 × 6371000     		dl = 270.831209999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48045002--0.48049253) × R
    4.25099999999956e-05 × 6371000     		dr = 270.831209999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28532043-0.28536836) × cos(-0.48045002) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.886787023105504 × 6371000     		do = 270.791085553006m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28532043-0.28536836) × cos(-0.48049253) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.886767375104966 × 6371000     		du = 270.785085799676m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48045002)-sin(-0.48049253))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.886787023105504-0.886767375104966)×R²
    abs(0.28536836-0.28532043)×1.96480005379973e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.96480005379973e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.96480005379973e-05×40589641000000     		ar = 73337.8649083003m²