Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7148 / 9268
↖ ↑ ↗
← N 78.002758°
W140.734863°		 ← 126.97 m → N 78.002758°
W140.729370°		 →
↑
126.97 m
↓
↑
126.97 m
↓
N 78.001617°
W140.734863°		 ← 126.99 m →
16 123 m²		 N 78.001617°
W140.729370°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7148 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9268 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.109077453613281 y=0.141426086425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.109077453613281 × 216)
    floor (0.109077453613281 × 65536)
    floor (7148.5)     		tx = 7148
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141426086425781 × 216)
    floor (0.141426086425781 × 65536)
    floor (9268.5)     		ty = 9268
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7148 / 9268 ti = "16/7148/9268"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7148/9268.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7148 ÷ 216
    7148 ÷ 65536     		x = 0.10906982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9268 ÷ 216
    9268 ÷ 65536     		y = 0.14141845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.10906982421875 × 2 - 1) × π
    -0.7818603515625 × 3.1415926535     		Λ = -2.45628674
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14141845703125 × 2 - 1) × π
    0.7171630859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.25303428214264
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45628674} λ = -2.45628674}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25303428214264))-π/2
    2×atan(9.51656802415597)-π/2
    2×1.46610064280616-π/2
    2.93220128561232-1.57079632675     		φ = 1.36140496
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45628674} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.734863°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36140496 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.002758°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7148 KachelY 9268 -2.45628674 1.36140496 -140.734863 78.002758
    Oben rechts KachelX + 1 7149 KachelY 9268 -2.45619086 1.36140496 -140.729370 78.002758
    Unten links KachelX 7148 KachelY + 1 9269 -2.45628674 1.36138503 -140.734863 78.001617
    Unten rechts KachelX + 1 7149 KachelY + 1 9269 -2.45619086 1.36138503 -140.729370 78.001617
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36140496-1.36138503) × R
    1.99299999998903e-05 × 6371000     		dl = 126.974029999301m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36140496-1.36138503) × R
    1.99299999998903e-05 × 6371000     		dr = 126.974029999301m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45628674--2.45619086) × cos(1.36140496) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.207864599182176 × 6371000     		do = 126.974398049956m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45628674--2.45619086) × cos(1.36138503) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.207884093822043 × 6371000     		du = 126.986306379571m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36140496)-sin(1.36138503))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207864599182176-0.207884093822043)×R²
    abs(-2.45619086--2.45628674)×1.94946398672513e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.94946398672513e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.94946398672513e-05×40589641000000     		ar = 16123.2070520685m²