Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7148 / 4790
↖ ↑ ↗
← N 59.645540°
W 22.939453°		 ← 1 234.71 m → N 59.645540°
W 22.917480°		 →
↑
1 234.89 m
↓
↑
1 234.89 m
↓
N 59.634435°
W 22.939453°		 ← 1 235.11 m →
1 524 980 m²		 N 59.634435°
W 22.917480°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7148 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4790 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436309814453125 y=0.292388916015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436309814453125 × 214)
    floor (0.436309814453125 × 16384)
    floor (7148.5)     		tx = 7148
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.292388916015625 × 214)
    floor (0.292388916015625 × 16384)
    floor (4790.5)     		ty = 4790
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7148 / 4790 ti = "14/7148/4790"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7148/4790.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7148 ÷ 214
    7148 ÷ 16384     		x = 0.436279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4790 ÷ 214
    4790 ÷ 16384     		y = 0.2923583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436279296875 × 2 - 1) × π
    -0.12744140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40036899
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2923583984375 × 2 - 1) × π
    0.415283203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.30465066005945
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40036899} λ = -0.40036899}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30465066005945))-π/2
    2×atan(3.68640106160988)-π/2
    2×1.30590369414727-π/2
    2.61180738829454-1.57079632675     		φ = 1.04101106
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40036899} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.939453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04101106 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.645540°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7148 KachelY 4790 -0.40036899 1.04101106 -22.939453 59.645540
    Oben rechts KachelX + 1 7149 KachelY 4790 -0.39998549 1.04101106 -22.917480 59.645540
    Unten links KachelX 7148 KachelY + 1 4791 -0.40036899 1.04081723 -22.939453 59.634435
    Unten rechts KachelX + 1 7149 KachelY + 1 4791 -0.39998549 1.04081723 -22.917480 59.634435
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04101106-1.04081723) × R
    0.00019382999999995 × 6371000     		dl = 1234.89092999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04101106-1.04081723) × R
    0.00019382999999995 × 6371000     		dr = 1234.89092999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40036899--0.39998549) × cos(1.04101106) × R
    0.000383499999999981 × 0.505348056223474 × 6371000     		do = 1234.70604078754m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40036899--0.39998549) × cos(1.04081723) × R
    0.000383499999999981 × 0.505515305661244 × 6371000     		du = 1235.11467774298m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04101106)-sin(1.04081723))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.505348056223474-0.505515305661244)×R²
    abs(-0.39998549--0.40036899)×0.000167249437769801×R²
    0.000383499999999981×0.000167249437769801×6371000²
    0.000383499999999981×0.000167249437769801×40589641000000     		ar = 1524979.60679353m²