Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7148 / 4781
↖ ↑ ↗
← N 59.745326°
W 22.939453°		 ← 1 231.03 m → N 59.745326°
W 22.917480°		 →
↑
1 231.20 m
↓
↑
1 231.20 m
↓
N 59.734254°
W 22.939453°		 ← 1 231.44 m →
1 515 893 m²		 N 59.734254°
W 22.917480°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7148 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4781 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436309814453125 y=0.291839599609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436309814453125 × 214)
    floor (0.436309814453125 × 16384)
    floor (7148.5)     		tx = 7148
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.291839599609375 × 214)
    floor (0.291839599609375 × 16384)
    floor (4781.5)     		ty = 4781
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7148 / 4781 ti = "14/7148/4781"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7148/4781.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7148 ÷ 214
    7148 ÷ 16384     		x = 0.436279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4781 ÷ 214
    4781 ÷ 16384     		y = 0.29180908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436279296875 × 2 - 1) × π
    -0.12744140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40036899
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29180908203125 × 2 - 1) × π
    0.4163818359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.30810211683209
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40036899} λ = -0.40036899}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30810211683209))-π/2
    2×atan(3.69914649802952)-π/2
    2×1.30677448979349-π/2
    2.61354897958698-1.57079632675     		φ = 1.04275265
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40036899} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.939453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04275265 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.745326°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7148 KachelY 4781 -0.40036899 1.04275265 -22.939453 59.745326
    Oben rechts KachelX + 1 7149 KachelY 4781 -0.39998549 1.04275265 -22.917480 59.745326
    Unten links KachelX 7148 KachelY + 1 4782 -0.40036899 1.04255940 -22.939453 59.734254
    Unten rechts KachelX + 1 7149 KachelY + 1 4782 -0.39998549 1.04255940 -22.917480 59.734254
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04275265-1.04255940) × R
    0.000193249999999923 × 6371000     		dl = 1231.19574999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04275265-1.04255940) × R
    0.000193249999999923 × 6371000     		dr = 1231.19574999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40036899--0.39998549) × cos(1.04275265) × R
    0.000383499999999981 × 0.50384444539953 × 6371000     		do = 1231.03230078904m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40036899--0.39998549) × cos(1.04255940) × R
    0.000383499999999981 × 0.504011364259162 × 6371000     		du = 1231.44013005002m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04275265)-sin(1.04255940))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.50384444539953-0.504011364259162)×R²
    abs(-0.39998549--0.40036899)×0.000166918859631826×R²
    0.000383499999999981×0.000166918859631826×6371000²
    0.000383499999999981×0.000166918859631826×40589641000000     		ar = 1515892.80038706m²