Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7148 / 10132
↖ ↑ ↗
← S 39.164141°
W 22.939453°		 ← 1 894.37 m → S 39.164141°
W 22.917480°		 →
↑
1 894.10 m
↓
↑
1 894.10 m
↓
S 39.181175°
W 22.939453°		 ← 1 893.91 m →
3 587 691 m²		 S 39.181175°
W 22.917480°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7148 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10132 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436309814453125 y=0.618438720703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436309814453125 × 214)
    floor (0.436309814453125 × 16384)
    floor (7148.5)     		tx = 7148
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618438720703125 × 214)
    floor (0.618438720703125 × 16384)
    floor (10132.5)     		ty = 10132
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7148 / 10132 ti = "14/7148/10132"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7148/10132.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7148 ÷ 214
    7148 ÷ 16384     		x = 0.436279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10132 ÷ 214
    10132 ÷ 16384     		y = 0.618408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436279296875 × 2 - 1) × π
    -0.12744140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40036899
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.618408203125 × 2 - 1) × π
    -0.23681640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.743980682103272
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40036899} λ = -0.40036899}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.743980682103272))-π/2
    2×atan(0.475218451818449)-π/2
    2×0.443626558406888-π/2
    0.887253116813777-1.57079632675     		φ = -0.68354321
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40036899} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.939453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68354321 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.164141°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7148 KachelY 10132 -0.40036899 -0.68354321 -22.939453 -39.164141
    Oben rechts KachelX + 1 7149 KachelY 10132 -0.39998549 -0.68354321 -22.917480 -39.164141
    Unten links KachelX 7148 KachelY + 1 10133 -0.40036899 -0.68384051 -22.939453 -39.181175
    Unten rechts KachelX + 1 7149 KachelY + 1 10133 -0.39998549 -0.68384051 -22.917480 -39.181175
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68354321--0.68384051) × R
    0.000297300000000056 × 6371000     		dl = 1894.09830000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68354321--0.68384051) × R
    0.000297300000000056 × 6371000     		dr = 1894.09830000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40036899--0.39998549) × cos(-0.68354321) × R
    0.000383499999999981 × 0.775339896732112 × 6371000     		do = 1894.3712998777m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40036899--0.39998549) × cos(-0.68384051) × R
    0.000383499999999981 × 0.775152104386658 × 6371000     		du = 1893.91247087758m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68354321)-sin(-0.68384051))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.775339896732112-0.775152104386658)×R²
    abs(-0.39998549--0.40036899)×0.000187792345453741×R²
    0.000383499999999981×0.000187792345453741×6371000²
    0.000383499999999981×0.000187792345453741×40589641000000     		ar = 3587690.95147841m²