Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71477 / 62970
↖ ↑ ↗
← N  7.030024°
E 16.317444°		 ← 303.13 m → N  7.030024°
E 16.320191°		 →
↑
303.07 m
↓
↑
303.07 m
↓
N  7.027298°
E 16.317444°		 ← 303.13 m →
91 869 m²		 N  7.027298°
E 16.320191°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71477 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 62970 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.545330047607422 y=0.480426788330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.545330047607422 × 217)
    floor (0.545330047607422 × 131072)
    floor (71477.5)     		tx = 71477
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.480426788330078 × 217)
    floor (0.480426788330078 × 131072)
    floor (62970.5)     		ty = 62970
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71477 / 62970 ti = "17/71477/62970"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71477/62970.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71477 ÷ 217
    71477 ÷ 131072     		x = 0.545326232910156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 62970 ÷ 217
    62970 ÷ 131072     		y = 0.480422973632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.545326232910156 × 2 - 1) × π
    0.0906524658203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.28479312
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.480422973632812 × 2 - 1) × π
    0.039154052734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.123006084425064
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28479312} λ = 0.28479312}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.123006084425064))-π/2
    2×atan(1.13089130174994)-π/2
    2×0.846746694446935-π/2
    1.69349338889387-1.57079632675     		φ = 0.12269706
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28479312} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.317444°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.12269706 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.030024°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71477 KachelY 62970 0.28479312 0.12269706 16.317444 7.030024
    Oben rechts KachelX + 1 71478 KachelY 62970 0.28484106 0.12269706 16.320191 7.030024
    Unten links KachelX 71477 KachelY + 1 62971 0.28479312 0.12264949 16.317444 7.027298
    Unten rechts KachelX + 1 71478 KachelY + 1 62971 0.28484106 0.12264949 16.320191 7.027298
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.12269706-0.12264949) × R
    4.75699999999968e-05 × 6371000     		dl = 303.068469999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.12269706-0.12264949) × R
    4.75699999999968e-05 × 6371000     		dr = 303.068469999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28479312-0.28484106) × cos(0.12269706) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.992482154330845 × 6371000     		do = 303.129596423094m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28479312-0.28484106) × cos(0.12264949) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.992487975273229 × 6371000     		du = 303.131374288729m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.12269706)-sin(0.12264949))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.992482154330845-0.992487975273229)×R²
    abs(0.28484106-0.28479312)×5.82094238399389e-06×R²
    4.79399999999686e-05×5.82094238399389e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×5.82094238399389e-06×40589641000000     		ar = 91869.2924245039m²