Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71474 / 62951
↖ ↑ ↗
← N  7.081814°
E 16.309204°		 ← 303.10 m → N  7.081814°
E 16.311951°		 →
↑
303.13 m
↓
↑
303.13 m
↓
N  7.079088°
E 16.309204°		 ← 303.10 m →
91 878 m²		 N  7.079088°
E 16.311951°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71474 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 62951 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.545307159423828 y=0.480281829833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.545307159423828 × 217)
    floor (0.545307159423828 × 131072)
    floor (71474.5)     		tx = 71474
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.480281829833984 × 217)
    floor (0.480281829833984 × 131072)
    floor (62951.5)     		ty = 62951
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71474 / 62951 ti = "17/71474/62951"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71474/62951.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71474 ÷ 217
    71474 ÷ 131072     		x = 0.545303344726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 62951 ÷ 217
    62951 ÷ 131072     		y = 0.480278015136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.545303344726562 × 2 - 1) × π
    0.090606689453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.28464931
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.480278015136719 × 2 - 1) × π
    0.0394439697265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.123916885517845
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28464931} λ = 0.28464931}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.123916885517845))-π/2
    2×atan(1.13192178799615)-π/2
    2×0.847198646110091-π/2
    1.69439729222018-1.57079632675     		φ = 0.12360097
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28464931} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.309204°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.12360097 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.081814°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71474 KachelY 62951 0.28464931 0.12360097 16.309204 7.081814
    Oben rechts KachelX + 1 71475 KachelY 62951 0.28469725 0.12360097 16.311951 7.081814
    Unten links KachelX 71474 KachelY + 1 62952 0.28464931 0.12355339 16.309204 7.079088
    Unten rechts KachelX + 1 71475 KachelY + 1 62952 0.28469725 0.12355339 16.311951 7.079088
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.12360097-0.12355339) × R
    4.75800000000054e-05 × 6371000     		dl = 303.132180000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.12360097-0.12355339) × R
    4.75800000000054e-05 × 6371000     		dr = 303.132180000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28464931-0.28469725) × cos(0.12360097) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.99237111985806 × 6371000     		do = 303.095683637429m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28464931-0.28469725) × cos(0.12355339) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.992376984706317 × 6371000     		du = 303.097474913048m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.12360097)-sin(0.12355339))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99237111985806-0.992376984706317)×R²
    abs(0.28469725-0.28464931)×5.86484825704225e-06×R²
    4.79400000000241e-05×5.86484825704225e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×5.86484825704225e-06×40589641000000     		ar = 91878.3268435877m²