Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7147 / 5608
↖ ↑ ↗
← N 49.267804°
W 22.961426°		 ← 1 594.26 m → N 49.267804°
W 22.939453°		 →
↑
1 594.47 m
↓
↑
1 594.47 m
↓
N 49.253465°
W 22.961426°		 ← 1 594.72 m →
2 542 365 m²		 N 49.253465°
W 22.939453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7147 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5608 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436248779296875 y=0.342315673828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436248779296875 × 214)
    floor (0.436248779296875 × 16384)
    floor (7147.5)     		tx = 7147
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342315673828125 × 214)
    floor (0.342315673828125 × 16384)
    floor (5608.5)     		ty = 5608
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7147 / 5608 ti = "14/7147/5608"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7147/5608.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7147 ÷ 214
    7147 ÷ 16384     		x = 0.43621826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5608 ÷ 214
    5608 ÷ 16384     		y = 0.34228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43621826171875 × 2 - 1) × π
    -0.1275634765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40075248
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34228515625 × 2 - 1) × π
    0.3154296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.990951588945801
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40075248} λ = -0.40075248}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.990951588945801))-π/2
    2×atan(2.69379664019567)-π/2
    2×1.21534086570704-π/2
    2.43068173141409-1.57079632675     		φ = 0.85988540
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40075248} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.961426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85988540 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.267804°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7147 KachelY 5608 -0.40075248 0.85988540 -22.961426 49.267804
    Oben rechts KachelX + 1 7148 KachelY 5608 -0.40036899 0.85988540 -22.939453 49.267804
    Unten links KachelX 7147 KachelY + 1 5609 -0.40075248 0.85963513 -22.961426 49.253465
    Unten rechts KachelX + 1 7148 KachelY + 1 5609 -0.40036899 0.85963513 -22.939453 49.253465
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85988540-0.85963513) × R
    0.000250269999999997 × 6371000     		dl = 1594.47016999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85988540-0.85963513) × R
    0.000250269999999997 × 6371000     		dr = 1594.47016999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40075248--0.40036899) × cos(0.85988540) × R
    0.000383490000000042 × 0.652524312637287 × 6371000     		do = 1594.25705147018m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40075248--0.40036899) × cos(0.85963513) × R
    0.000383490000000042 × 0.652713938744302 × 6371000     		du = 1594.72034877941m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85988540)-sin(0.85963513))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652524312637287-0.652713938744302)×R²
    abs(-0.40036899--0.40075248)×0.000189626107015561×R²
    0.000383490000000042×0.000189626107015561×6371000²
    0.000383490000000042×0.000189626107015561×40589641000000     		ar = 2542364.68202207m²