Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 7147 / 5179
↖ ↑ ↗
← N 76.692435°
W101.480713°		 ← 281.19 m → N 76.692435°
W101.469727°		 →
↑
281.22 m
↓
↑
281.22 m
↓
N 76.689906°
W101.480713°		 ← 281.25 m →
79 084 m²		 N 76.689906°
W101.469727°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7147 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5179 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.218124389648438 y=0.158065795898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.218124389648438 × 215)
    floor (0.218124389648438 × 32768)
    floor (7147.5)     		tx = 7147
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158065795898438 × 215)
    floor (0.158065795898438 × 32768)
    floor (5179.5)     		ty = 5179
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7147 / 5179 ti = "15/7147/5179"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7147/5179.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7147 ÷ 215
    7147 ÷ 32768     		x = 0.218109130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5179 ÷ 215
    5179 ÷ 32768     		y = 0.158050537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.218109130859375 × 2 - 1) × π
    -0.56378173828125 × 3.1415926535     		Λ = -1.77117257
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.158050537109375 × 2 - 1) × π
    0.68389892578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.14853184097092
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.77117257} λ = -1.77117257}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14853184097092))-π/2
    2×atan(8.57226370757462)-π/2
    2×1.45466591332624-π/2
    2.90933182665249-1.57079632675     		φ = 1.33853550
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.77117257} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.480713°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33853550 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.692435°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7147 KachelY 5179 -1.77117257 1.33853550 -101.480713 76.692435
    Oben rechts KachelX + 1 7148 KachelY 5179 -1.77098082 1.33853550 -101.469727 76.692435
    Unten links KachelX 7147 KachelY + 1 5180 -1.77117257 1.33849136 -101.480713 76.689906
    Unten rechts KachelX + 1 7148 KachelY + 1 5180 -1.77098082 1.33849136 -101.469727 76.689906
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33853550-1.33849136) × R
    4.41400000001924e-05 × 6371000     		dl = 281.215940001226m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33853550-1.33849136) × R
    4.41400000001924e-05 × 6371000     		dr = 281.215940001226m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.77117257--1.77098082) × cos(1.33853550) × R
    0.000191750000000157 × 0.230178230100232 × 6371000     		do = 281.194760386205m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.77117257--1.77098082) × cos(1.33849136) × R
    0.000191750000000157 × 0.230221184650307 × 6371000     		du = 281.247235350543m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33853550)-sin(1.33849136))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.230178230100232-0.230221184650307)×R²
    abs(-1.77098082--1.77117257)×4.2954550074914e-05×R²
    0.000191750000000157×4.2954550074914e-05×6371000²
    0.000191750000000157×4.2954550074914e-05×40589641000000     		ar = 79083.8272763293m²