Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7147 / 1130
↖ ↑ ↗
← N 78.260332°
E134.077148°		 ← 994.23 m → N 78.260332°
E134.121094°		 →
↑
994.58 m
↓
↑
994.58 m
↓
N 78.251388°
E134.077148°		 ← 994.98 m →
989 211 m²		 N 78.251388°
E134.121094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7147 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1130 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.87249755859375 y=0.13800048828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.87249755859375 × 213)
    floor (0.87249755859375 × 8192)
    floor (7147.5)     		tx = 7147
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.13800048828125 × 213)
    floor (0.13800048828125 × 8192)
    floor (1130.5)     		ty = 1130
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7147 / 1130 ti = "13/7147/1130"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7147/1130.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7147 ÷ 213
    7147 ÷ 8192     		x = 0.8724365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1130 ÷ 213
    1130 ÷ 8192     		y = 0.137939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8724365234375 × 2 - 1) × π
    0.744873046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.34008769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137939453125 × 2 - 1) × π
    0.72412109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.27489350836938
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.34008769} λ = 2.34008769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27489350836938))-π/2
    2×atan(9.72688312575936)-π/2
    2×1.468348398642-π/2
    2.936696797284-1.57079632675     		φ = 1.36590047
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.34008769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.077148°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36590047 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.260332°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7147 KachelY 1130 2.34008769 1.36590047 134.077148 78.260332
    Oben rechts KachelX + 1 7148 KachelY 1130 2.34085468 1.36590047 134.121094 78.260332
    Unten links KachelX 7147 KachelY + 1 1131 2.34008769 1.36574436 134.077148 78.251388
    Unten rechts KachelX + 1 7148 KachelY + 1 1131 2.34085468 1.36574436 134.121094 78.251388
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36590047-1.36574436) × R
    0.000156109999999821 × 6371000     		dl = 994.576809998857m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36590047-1.36574436) × R
    0.000156109999999821 × 6371000     		dr = 994.576809998857m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.34008769-2.34085468) × cos(1.36590047) × R
    0.000766990000000245 × 0.203465196252118 × 6371000     		do = 994.231316234824m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.34008769-2.34085468) × cos(1.36574436) × R
    0.000766990000000245 × 0.203618038291257 × 6371000     		du = 994.97817783351m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36590047)-sin(1.36574436))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.203465196252118-0.203618038291257)×R²
    abs(2.34085468-2.34008769)×0.000152842039139595×R²
    0.000766990000000245×0.000152842039139595×6371000²
    0.000766990000000245×0.000152842039139595×40589641000000     		ar = 989210.818522457m²