Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 71465 / 62964
↖ ↑ ↗
← N  7.046379°
E 16.284485°		 ← 303.06 m → N  7.046379°
E 16.287231°		 →
↑
303.13 m
↓
↑
303.13 m
↓
N  7.043653°
E 16.284485°		 ← 303.06 m →
91 866 m²		 N  7.043653°
E 16.287231°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71465 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 62964 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.545238494873047 y=0.480381011962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.545238494873047 × 217)
    floor (0.545238494873047 × 131072)
    floor (71465.5)     		tx = 71465
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.480381011962891 × 217)
    floor (0.480381011962891 × 131072)
    floor (62964.5)     		ty = 62964
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71465 / 62964 ti = "17/71465/62964"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71465/62964.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71465 ÷ 217
    71465 ÷ 131072     		x = 0.545234680175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 62964 ÷ 217
    62964 ÷ 131072     		y = 0.480377197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.545234680175781 × 2 - 1) × π
    0.0904693603515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.28421788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.480377197265625 × 2 - 1) × π
    0.03924560546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.123293705822784
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28421788} λ = 0.28421788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.123293705822784))-π/2
    2×atan(1.1312166170684)-π/2
    2×0.846889421485039-π/2
    1.69377884297008-1.57079632675     		φ = 0.12298252
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28421788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.284485°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.12298252 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.046379°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71465 KachelY 62964 0.28421788 0.12298252 16.284485 7.046379
    Oben rechts KachelX + 1 71466 KachelY 62964 0.28426581 0.12298252 16.287231 7.046379
    Unten links KachelX 71465 KachelY + 1 62965 0.28421788 0.12293494 16.284485 7.043653
    Unten rechts KachelX + 1 71466 KachelY + 1 62965 0.28426581 0.12293494 16.287231 7.043653
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.12298252-0.12293494) × R
    4.75799999999915e-05 × 6371000     		dl = 303.132179999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.12298252-0.12293494) × R
    4.75799999999915e-05 × 6371000     		dr = 303.132179999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28421788-0.28426581) × cos(0.12298252) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.992447176606346 × 6371000     		do = 303.055684516468m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28421788-0.28426581) × cos(0.12293494) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.992453012252032 × 6371000     		du = 303.057466501081m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.12298252)-sin(0.12293494))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.992447176606346-0.992453012252032)×R²
    abs(0.28426581-0.28421788)×5.83564568634731e-06×R²
    4.79300000000293e-05×5.83564568634731e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×5.83564568634731e-06×40589641000000     		ar = 91866.20041463m²