Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7146 / 9213
↖ ↑ ↗
← N 78.065398°
W140.745849°		 ← 126.31 m → N 78.065398°
W140.740356°		 →
↑
126.34 m
↓
↑
126.34 m
↓
N 78.064261°
W140.745849°		 ← 126.32 m →
15 958 m²		 N 78.064261°
W140.740356°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7146 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9213 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.109046936035156 y=0.140586853027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.109046936035156 × 216)
    floor (0.109046936035156 × 65536)
    floor (7146.5)     		tx = 7146
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140586853027344 × 216)
    floor (0.140586853027344 × 65536)
    floor (9213.5)     		ty = 9213
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7146 / 9213 ti = "16/7146/9213"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7146/9213.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7146 ÷ 216
    7146 ÷ 65536     		x = 0.109039306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9213 ÷ 216
    9213 ÷ 65536     		y = 0.140579223632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.109039306640625 × 2 - 1) × π
    -0.78192138671875 × 3.1415926535     		Λ = -2.45647848
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140579223632812 × 2 - 1) × π
    0.718841552734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.25830734110085
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45647848} λ = -2.45647848}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25830734110085))-π/2
    2×atan(9.56688198608875)-π/2
    2×1.46664727290446-π/2
    2.93329454580892-1.57079632675     		φ = 1.36249822
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45647848} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.745849°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36249822 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.065398°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7146 KachelY 9213 -2.45647848 1.36249822 -140.745849 78.065398
    Oben rechts KachelX + 1 7147 KachelY 9213 -2.45638261 1.36249822 -140.740356 78.065398
    Unten links KachelX 7146 KachelY + 1 9214 -2.45647848 1.36247839 -140.745849 78.064261
    Unten rechts KachelX + 1 7147 KachelY + 1 9214 -2.45638261 1.36247839 -140.740356 78.064261
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36249822-1.36247839) × R
    1.9830000000054e-05 × 6371000     		dl = 126.336930000344m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36249822-1.36247839) × R
    1.9830000000054e-05 × 6371000     		dr = 126.336930000344m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45647848--2.45638261) × cos(1.36249822) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.206795094585699 × 6371000     		do = 126.307914668935m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45647848--2.45638261) × cos(1.36247839) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.206814495905205 × 6371000     		du = 126.319764757611m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36249822)-sin(1.36247839))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206795094585699-0.206814495905205)×R²
    abs(-2.45638261--2.45647848)×1.94013195058962e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.94013195058962e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.94013195058962e-05×40589641000000     		ar = 15958.1027264746m²