Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7146 / 5671
↖ ↑ ↗
← N 48.356249°
W 22.983399°		 ← 1 623.55 m → N 48.356249°
W 22.961426°		 →
↑
1 623.78 m
↓
↑
1 623.78 m
↓
N 48.341646°
W 22.983399°		 ← 1 624.02 m →
2 636 663 m²		 N 48.341646°
W 22.961426°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7146 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5671 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436187744140625 y=0.346160888671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436187744140625 × 214)
    floor (0.436187744140625 × 16384)
    floor (7146.5)     		tx = 7146
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346160888671875 × 214)
    floor (0.346160888671875 × 16384)
    floor (5671.5)     		ty = 5671
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7146 / 5671 ti = "14/7146/5671"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7146/5671.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7146 ÷ 214
    7146 ÷ 16384     		x = 0.4361572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5671 ÷ 214
    5671 ÷ 16384     		y = 0.34613037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4361572265625 × 2 - 1) × π
    -0.127685546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40113598
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34613037109375 × 2 - 1) × π
    0.3077392578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.966791391537293
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40113598} λ = -0.40113598}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.966791391537293))-π/2
    2×atan(2.62949389296713)-π/2
    2×1.20738604312817-π/2
    2.41477208625633-1.57079632675     		φ = 0.84397576
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40113598} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.983399°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84397576 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.356249°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7146 KachelY 5671 -0.40113598 0.84397576 -22.983399 48.356249
    Oben rechts KachelX + 1 7147 KachelY 5671 -0.40075248 0.84397576 -22.961426 48.356249
    Unten links KachelX 7146 KachelY + 1 5672 -0.40113598 0.84372089 -22.983399 48.341646
    Unten rechts KachelX + 1 7147 KachelY + 1 5672 -0.40075248 0.84372089 -22.961426 48.341646
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84397576-0.84372089) × R
    0.000254870000000018 × 6371000     		dl = 1623.77677000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84397576-0.84372089) × R
    0.000254870000000018 × 6371000     		dr = 1623.77677000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40113598--0.40075248) × cos(0.84397576) × R
    0.000383499999999981 × 0.664497036135423 × 6371000     		do = 1623.55132170332m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40113598--0.40075248) × cos(0.84372089) × R
    0.000383499999999981 × 0.664687476582563 × 6371000     		du = 1624.01662075335m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84397576)-sin(0.84372089))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664497036135423-0.664687476582563)×R²
    abs(-0.40075248--0.40113598)×0.000190440447140117×R²
    0.000383499999999981×0.000190440447140117×6371000²
    0.000383499999999981×0.000190440447140117×40589641000000     		ar = 2636662.70625227m²