Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7146 / 1129
↖ ↑ ↗
← N 78.269270°
E134.033203°		 ← 993.48 m → N 78.269270°
E134.077148°		 →
↑
993.88 m
↓
↑
993.88 m
↓
N 78.260332°
E134.033203°		 ← 994.23 m →
987 772 m²		 N 78.260332°
E134.077148°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7146 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1129 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.87237548828125 y=0.13787841796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.87237548828125 × 213)
    floor (0.87237548828125 × 8192)
    floor (7146.5)     		tx = 7146
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.13787841796875 × 213)
    floor (0.13787841796875 × 8192)
    floor (1129.5)     		ty = 1129
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7146 / 1129 ti = "13/7146/1129"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7146/1129.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7146 ÷ 213
    7146 ÷ 8192     		x = 0.872314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1129 ÷ 213
    1129 ÷ 8192     		y = 0.1378173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.872314453125 × 2 - 1) × π
    0.74462890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.33932070
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1378173828125 × 2 - 1) × π
    0.724365234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.27566049876331
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33932070} λ = 2.33932070}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27566049876331))-π/2
    2×atan(9.73434641344872)-π/2
    2×1.46842639727694-π/2
    2.93685279455388-1.57079632675     		φ = 1.36605647
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33932070} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.033203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36605647 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.269270°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7146 KachelY 1129 2.33932070 1.36605647 134.033203 78.269270
    Oben rechts KachelX + 1 7147 KachelY 1129 2.34008769 1.36605647 134.077148 78.269270
    Unten links KachelX 7146 KachelY + 1 1130 2.33932070 1.36590047 134.033203 78.260332
    Unten rechts KachelX + 1 7147 KachelY + 1 1130 2.34008769 1.36590047 134.077148 78.260332
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36605647-1.36590047) × R
    0.000156000000000045 × 6371000     		dl = 993.876000000287m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36605647-1.36590047) × R
    0.000156000000000045 × 6371000     		dr = 993.876000000287m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33932070-2.34008769) × cos(1.36605647) × R
    0.000766989999999801 × 0.203312456956995 × 6371000     		do = 993.48495669351m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33932070-2.34008769) × cos(1.36590047) × R
    0.000766989999999801 × 0.203465196252118 × 6371000     		du = 994.231316234249m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36605647)-sin(1.36590047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.203312456956995-0.203465196252118)×R²
    abs(2.34008769-2.33932070)×0.000152739295123133×R²
    0.000766989999999801×0.000152739295123133×6371000²
    0.000766989999999801×0.000152739295123133×40589641000000     		ar = 987771.751238178m²