Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71457 / 62688
↖ ↑ ↗
← N  7.798079°
E 16.262512°		 ← 302.60 m → N  7.798079°
E 16.265259°		 →
↑
302.62 m
↓
↑
302.62 m
↓
N  7.795357°
E 16.262512°		 ← 302.60 m →
91 574 m²		 N  7.795357°
E 16.265259°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71457 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 62688 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.545177459716797 y=0.478275299072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.545177459716797 × 217)
    floor (0.545177459716797 × 131072)
    floor (71457.5)     		tx = 71457
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.478275299072266 × 217)
    floor (0.478275299072266 × 131072)
    floor (62688.5)     		ty = 62688
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71457 / 62688 ti = "17/71457/62688"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71457/62688.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71457 ÷ 217
    71457 ÷ 131072     		x = 0.545173645019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 62688 ÷ 217
    62688 ÷ 131072     		y = 0.478271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.545173645019531 × 2 - 1) × π
    0.0903472900390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.28383438
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.478271484375 × 2 - 1) × π
    0.04345703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.13652429011792
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28383438} λ = 0.28383438}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.13652429011792))-π/2
    2×atan(1.14628272078007)-π/2
    2×0.853449236246132-π/2
    1.70689847249226-1.57079632675     		φ = 0.13610215
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28383438} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.262512°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13610215 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.798079°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71457 KachelY 62688 0.28383438 0.13610215 16.262512 7.798079
    Oben rechts KachelX + 1 71458 KachelY 62688 0.28388232 0.13610215 16.265259 7.798079
    Unten links KachelX 71457 KachelY + 1 62689 0.28383438 0.13605465 16.262512 7.795357
    Unten rechts KachelX + 1 71458 KachelY + 1 62689 0.28388232 0.13605465 16.265259 7.795357
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13610215-0.13605465) × R
    4.75000000000059e-05 × 6371000     		dl = 302.622500000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13610215-0.13605465) × R
    4.75000000000059e-05 × 6371000     		dr = 302.622500000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28383438-0.28388232) × cos(0.13610215) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.990752390682287 × 6371000     		do = 302.601282081059m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28383438-0.28388232) × cos(0.13605465) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.990758834476262 × 6371000     		du = 302.603250181602m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13610215)-sin(0.13605465))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990752390682287-0.990758834476262)×R²
    abs(0.28388232-0.28383438)×6.44379397474193e-06×R²
    4.79400000000241e-05×6.44379397474193e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×6.44379397474193e-06×40589641000000     		ar = 91574.2542995381m²