Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 7145 / 9177
↖ ↑ ↗
← N 78.106223°
W140.751343°		 ← 125.90 m → N 78.106223°
W140.745849°		 →
↑
125.89 m
↓
↑
125.89 m
↓
N 78.105091°
W140.751343°		 ← 125.91 m →
15 850 m²		 N 78.105091°
W140.745849°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7145 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9177 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.109031677246094 y=0.140037536621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.109031677246094 × 216)
    floor (0.109031677246094 × 65536)
    floor (7145.5)     		tx = 7145
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140037536621094 × 216)
    floor (0.140037536621094 × 65536)
    floor (9177.5)     		ty = 9177
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7145 / 9177 ti = "16/7145/9177"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7145/9177.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7145 ÷ 216
    7145 ÷ 65536     		x = 0.109024047851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9177 ÷ 216
    9177 ÷ 65536     		y = 0.140029907226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.109024047851562 × 2 - 1) × π
    -0.781951904296875 × 3.1415926535     		Λ = -2.45657436
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140029907226562 × 2 - 1) × π
    0.719940185546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.26175879787349
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45657436} λ = -2.45657436}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26175879787349))-π/2
    2×atan(9.59995871432589)-π/2
    2×1.46700354316643-π/2
    2.93400708633286-1.57079632675     		φ = 1.36321076
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45657436} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.751343°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36321076 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.106223°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7145 KachelY 9177 -2.45657436 1.36321076 -140.751343 78.106223
    Oben rechts KachelX + 1 7146 KachelY 9177 -2.45647848 1.36321076 -140.745849 78.106223
    Unten links KachelX 7145 KachelY + 1 9178 -2.45657436 1.36319100 -140.751343 78.105091
    Unten rechts KachelX + 1 7146 KachelY + 1 9178 -2.45647848 1.36319100 -140.745849 78.105091
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36321076-1.36319100) × R
    1.97600000000353e-05 × 6371000     		dl = 125.890960000225m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36321076-1.36319100) × R
    1.97600000000353e-05 × 6371000     		dr = 125.890960000225m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45657436--2.45647848) × cos(1.36321076) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.206097904217338 × 6371000     		do = 125.895209815976m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45657436--2.45647848) × cos(1.36319100) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.206117239957091 × 6371000     		du = 125.907021081221m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36321076)-sin(1.36319100))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206097904217338-0.206117239957091)×R²
    abs(-2.45647848--2.45657436)×1.9335739752907e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.9335739752907e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.9335739752907e-05×40589641000000     		ar = 15849.8122892058m²