Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7145 / 8099
↖ ↑ ↗
← N 79.266893°
W140.751343°		 ← 113.76 m → N 79.266893°
W140.745849°		 →
↑
113.72 m
↓
↑
113.72 m
↓
N 79.265870°
W140.751343°		 ← 113.77 m →
12 938 m²		 N 79.265870°
W140.745849°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7145 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8099 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.109031677246094 y=0.123588562011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.109031677246094 × 216)
    floor (0.109031677246094 × 65536)
    floor (7145.5)     		tx = 7145
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123588562011719 × 216)
    floor (0.123588562011719 × 65536)
    floor (8099.5)     		ty = 8099
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7145 / 8099 ti = "16/7145/8099"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7145/8099.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7145 ÷ 216
    7145 ÷ 65536     		x = 0.109024047851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8099 ÷ 216
    8099 ÷ 65536     		y = 0.123580932617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.109024047851562 × 2 - 1) × π
    -0.781951904296875 × 3.1415926535     		Λ = -2.45657436
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123580932617188 × 2 - 1) × π
    0.752838134765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.36511075345433
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45657436} λ = -2.45657436}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36511075345433))-π/2
    2×atan(10.6452177468611)-π/2
    2×1.47713229894224-π/2
    2.95426459788448-1.57079632675     		φ = 1.38346827
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45657436} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.751343°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38346827 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.266893°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7145 KachelY 8099 -2.45657436 1.38346827 -140.751343 79.266893
    Oben rechts KachelX + 1 7146 KachelY 8099 -2.45647848 1.38346827 -140.745849 79.266893
    Unten links KachelX 7145 KachelY + 1 8100 -2.45657436 1.38345042 -140.751343 79.265870
    Unten rechts KachelX + 1 7146 KachelY + 1 8100 -2.45647848 1.38345042 -140.745849 79.265870
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38346827-1.38345042) × R
    1.7850000000097e-05 × 6371000     		dl = 113.722350000618m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38346827-1.38345042) × R
    1.7850000000097e-05 × 6371000     		dr = 113.722350000618m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45657436--2.45647848) × cos(1.38346827) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.186234364397262 × 6371000     		do = 113.761537118852m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45657436--2.45647848) × cos(1.38345042) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.186251902088078 × 6371000     		du = 113.772250043243m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38346827)-sin(1.38345042))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186234364397262-0.186251902088078)×R²
    abs(-2.45647848--2.45657436)×1.75376908159997e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.75376908159997e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.75376908159997e-05×40589641000000     		ar = 12937.8384905173m²