Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7145 / 5670
↖ ↑ ↗
← N 48.370847°
W 23.005371°		 ← 1 623.04 m → N 48.370847°
W 22.983399°		 →
↑
1 623.27 m
↓
↑
1 623.27 m
↓
N 48.356249°
W 23.005371°		 ← 1 623.51 m →
2 635 011 m²		 N 48.356249°
W 22.983399°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7145 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5670 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436126708984375 y=0.346099853515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436126708984375 × 214)
    floor (0.436126708984375 × 16384)
    floor (7145.5)     		tx = 7145
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346099853515625 × 214)
    floor (0.346099853515625 × 16384)
    floor (5670.5)     		ty = 5670
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7145 / 5670 ti = "14/7145/5670"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7145/5670.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7145 ÷ 214
    7145 ÷ 16384     		x = 0.43609619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5670 ÷ 214
    5670 ÷ 16384     		y = 0.3460693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43609619140625 × 2 - 1) × π
    -0.1278076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40151947
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3460693359375 × 2 - 1) × π
    0.307861328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.967174886734253
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40151947} λ = -0.40151947}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.967174886734253))-π/2
    2×atan(2.63050248462819)-π/2
    2×1.20751344058193-π/2
    2.41502688116386-1.57079632675     		φ = 0.84423055
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40151947} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.005371°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84423055 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.370847°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7145 KachelY 5670 -0.40151947 0.84423055 -23.005371 48.370847
    Oben rechts KachelX + 1 7146 KachelY 5670 -0.40113598 0.84423055 -22.983399 48.370847
    Unten links KachelX 7145 KachelY + 1 5671 -0.40151947 0.84397576 -23.005371 48.356249
    Unten rechts KachelX + 1 7146 KachelY + 1 5671 -0.40113598 0.84397576 -22.983399 48.356249
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84423055-0.84397576) × R
    0.00025479000000006 × 6371000     		dl = 1623.26709000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84423055-0.84397576) × R
    0.00025479000000006 × 6371000     		dr = 1623.26709000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40151947--0.40113598) × cos(0.84423055) × R
    0.000383489999999986 × 0.664306612320225 × 6371000     		do = 1623.04374031551m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40151947--0.40113598) × cos(0.84397576) × R
    0.000383489999999986 × 0.664497036135423 × 6371000     		du = 1623.50898659717m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84423055)-sin(0.84397576))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664306612320225-0.664497036135423)×R²
    abs(-0.40113598--0.40151947)×0.00019042381519796×R²
    0.000383489999999986×0.00019042381519796×6371000²
    0.000383489999999986×0.00019042381519796×40589641000000     		ar = 2635011.11302874m²