Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7145 / 1111
↖ ↑ ↗
← N 78.429011°
E133.989258°		 ← 980.14 m → N 78.429011°
E134.033203°		 →
↑
980.50 m
↓
↑
980.50 m
↓
N 78.420193°
E133.989258°		 ← 980.88 m →
961 387 m²		 N 78.420193°
E134.033203°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7145 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1111 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.87225341796875 y=0.13568115234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.87225341796875 × 213)
    floor (0.87225341796875 × 8192)
    floor (7145.5)     		tx = 7145
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.13568115234375 × 213)
    floor (0.13568115234375 × 8192)
    floor (1111.5)     		ty = 1111
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7145 / 1111 ti = "13/7145/1111"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7145/1111.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7145 ÷ 213
    7145 ÷ 8192     		x = 0.8721923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1111 ÷ 213
    1111 ÷ 8192     		y = 0.1356201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8721923828125 × 2 - 1) × π
    0.744384765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.33855371
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1356201171875 × 2 - 1) × π
    0.728759765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.28946632585388
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33855371} λ = 2.33855371}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28946632585388))-π/2
    2×atan(9.86966908821918)-π/2
    2×1.46982040084878-π/2
    2.93964080169756-1.57079632675     		φ = 1.36884447
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33855371} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.989258°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36884447 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.429011°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7145 KachelY 1111 2.33855371 1.36884447 133.989258 78.429011
    Oben rechts KachelX + 1 7146 KachelY 1111 2.33932070 1.36884447 134.033203 78.429011
    Unten links KachelX 7145 KachelY + 1 1112 2.33855371 1.36869057 133.989258 78.420193
    Unten rechts KachelX + 1 7146 KachelY + 1 1112 2.33932070 1.36869057 134.033203 78.420193
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36884447-1.36869057) × R
    0.000153899999999929 × 6371000     		dl = 980.496899999548m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36884447-1.36869057) × R
    0.000153899999999929 × 6371000     		dr = 980.496899999548m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33855371-2.33932070) × cos(1.36884447) × R
    0.000766990000000245 × 0.200581900750211 × 6371000     		do = 980.142112111664m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33855371-2.33932070) × cos(1.36869057) × R
    0.000766990000000245 × 0.200732670654823 × 6371000     		du = 980.878848238888m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36884447)-sin(1.36869057))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.200581900750211-0.200732670654823)×R²
    abs(2.33932070-2.33855371)×0.000150769904612685×R²
    0.000766990000000245×0.000150769904612685×6371000²
    0.000766990000000245×0.000150769904612685×40589641000000     		ar = 961387.488129529m²