Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71445 / 63006
↖ ↑ ↗
← N  6.931880°
E 16.229553°		 ← 303.19 m → N  6.931880°
E 16.232300°		 →
↑
303.20 m
↓
↑
303.20 m
↓
N  6.929153°
E 16.229553°		 ← 303.19 m →
91 927 m²		 N  6.929153°
E 16.232300°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71445 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63006 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.545085906982422 y=0.480701446533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.545085906982422 × 217)
    floor (0.545085906982422 × 131072)
    floor (71445.5)     		tx = 71445
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.480701446533203 × 217)
    floor (0.480701446533203 × 131072)
    floor (63006.5)     		ty = 63006
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71445 / 63006 ti = "17/71445/63006"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71445/63006.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71445 ÷ 217
    71445 ÷ 131072     		x = 0.545082092285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63006 ÷ 217
    63006 ÷ 131072     		y = 0.480697631835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.545082092285156 × 2 - 1) × π
    0.0901641845703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.28325914
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.480697631835938 × 2 - 1) × π
    0.038604736328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.121280356038742
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28325914} λ = 0.28325914}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.121280356038742))-π/2
    2×atan(1.12894137353583)-π/2
    2×0.845890227108156-π/2
    1.69178045421631-1.57079632675     		φ = 0.12098413
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28325914} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.229553°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.12098413 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.931880°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71445 KachelY 63006 0.28325914 0.12098413 16.229553 6.931880
    Oben rechts KachelX + 1 71446 KachelY 63006 0.28330708 0.12098413 16.232300 6.931880
    Unten links KachelX 71445 KachelY + 1 63007 0.28325914 0.12093654 16.229553 6.929153
    Unten rechts KachelX + 1 71446 KachelY + 1 63007 0.28330708 0.12093654 16.232300 6.929153
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.12098413-0.12093654) × R
    4.75900000000001e-05 × 6371000     		dl = 303.195890000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.12098413-0.12093654) × R
    4.75900000000001e-05 × 6371000     		dr = 303.195890000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28325914-0.28330708) × cos(0.12098413) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.992690342724895 × 6371000     		do = 303.193182517406m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28325914-0.28330708) × cos(0.12093654) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.992696085199886 × 6371000     		du = 303.194936417079m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.12098413)-sin(0.12093654))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.992690342724895-0.992696085199886)×R²
    abs(0.28330708-0.28325914)×5.74247499074421e-06×R²
    4.79399999999686e-05×5.74247499074421e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×5.74247499074421e-06×40589641000000     		ar = 91927.1927202188m²