Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71443 / 62622
↖ ↑ ↗
← N  7.977638°
E 16.224060°		 ← 302.41 m → N  7.977638°
E 16.226806°		 →
↑
302.50 m
↓
↑
302.50 m
↓
N  7.974918°
E 16.224060°		 ← 302.41 m →
91 477 m²		 N  7.974918°
E 16.226806°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71443 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 62622 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.545070648193359 y=0.477771759033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.545070648193359 × 217)
    floor (0.545070648193359 × 131072)
    floor (71443.5)     		tx = 71443
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.477771759033203 × 217)
    floor (0.477771759033203 × 131072)
    floor (62622.5)     		ty = 62622
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71443 / 62622 ti = "17/71443/62622"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71443/62622.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71443 ÷ 217
    71443 ÷ 131072     		x = 0.545066833496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 62622 ÷ 217
    62622 ÷ 131072     		y = 0.477767944335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.545066833496094 × 2 - 1) × π
    0.0901336669921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.28316327
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.477767944335938 × 2 - 1) × π
    0.044464111328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.139688125492844
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28316327} λ = 0.28316327}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.139688125492844))-π/2
    2×atan(1.1499151137184)-π/2
    2×0.855016186060504-π/2
    1.71003237212101-1.57079632675     		φ = 0.13923605
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28316327} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.224060°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13923605 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.977638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71443 KachelY 62622 0.28316327 0.13923605 16.224060 7.977638
    Oben rechts KachelX + 1 71444 KachelY 62622 0.28321120 0.13923605 16.226806 7.977638
    Unten links KachelX 71443 KachelY + 1 62623 0.28316327 0.13918857 16.224060 7.974918
    Unten rechts KachelX + 1 71444 KachelY + 1 62623 0.28321120 0.13918857 16.226806 7.974918
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13923605-0.13918857) × R
    4.74799999999886e-05 × 6371000     		dl = 302.495079999928m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13923605-0.13918857) × R
    4.74799999999886e-05 × 6371000     		dr = 302.495079999928m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28316327-0.28321120) × cos(0.13923605) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.990322311209981 × 6371000     		do = 302.406831305206m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28316327-0.28321120) × cos(0.13918857) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.990328899681408 × 6371000     		du = 302.408843174216m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13923605)-sin(0.13918857))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990322311209981-0.990328899681408)×R²
    abs(0.28321120-0.28316327)×6.5884714269826e-06×R²
    4.79299999999738e-05×6.5884714269826e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×6.5884714269826e-06×40589641000000     		ar = 91476.8829355902m²