Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71442 / 63067
↖ ↑ ↗
← N  6.765534°
E 16.221314°		 ← 303.30 m → N  6.765534°
E 16.224060°		 →
↑
303.26 m
↓
↑
303.26 m
↓
N  6.762806°
E 16.221314°		 ← 303.30 m →
91 979 m²		 N  6.762806°
E 16.224060°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71442 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63067 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.545063018798828 y=0.481166839599609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.545063018798828 × 217)
    floor (0.545063018798828 × 131072)
    floor (71442.5)     		tx = 71442
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.481166839599609 × 217)
    floor (0.481166839599609 × 131072)
    floor (63067.5)     		ty = 63067
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71442 / 63067 ti = "17/71442/63067"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71442/63067.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71442 ÷ 217
    71442 ÷ 131072     		x = 0.545059204101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63067 ÷ 217
    63067 ÷ 131072     		y = 0.481163024902344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.545059204101562 × 2 - 1) × π
    0.090118408203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.28311533
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.481163024902344 × 2 - 1) × π
    0.0376739501953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.118356205161919
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28311533} λ = 0.28311533}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.118356205161919))-π/2
    2×atan(1.12564500052338)-π/2
    2×0.844438584841491-π/2
    1.68887716968298-1.57079632675     		φ = 0.11808084
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28311533} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.221314°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11808084 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.765534°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71442 KachelY 63067 0.28311533 0.11808084 16.221314 6.765534
    Oben rechts KachelX + 1 71443 KachelY 63067 0.28316327 0.11808084 16.224060 6.765534
    Unten links KachelX 71442 KachelY + 1 63068 0.28311533 0.11803324 16.221314 6.762806
    Unten rechts KachelX + 1 71443 KachelY + 1 63068 0.28316327 0.11803324 16.224060 6.762806
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11808084-0.11803324) × R
    4.76000000000087e-05 × 6371000     		dl = 303.259600000056m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11808084-0.11803324) × R
    4.76000000000087e-05 × 6371000     		dr = 303.259600000056m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28311533-0.28316327) × cos(0.11808084) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.993036554249109 × 6371000     		do = 303.298924428737m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28311533-0.28316327) × cos(0.11803324) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.993042160719674 × 6371000     		du = 303.300636789158m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11808084)-sin(0.11803324))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993036554249109-0.993042160719674)×R²
    abs(0.28316327-0.28311533)×5.6064705649117e-06×R²
    4.79400000000241e-05×5.6064705649117e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×5.6064705649117e-06×40589641000000     		ar = 91978.5701649466m²