Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71442 / 62646
↖ ↑ ↗
← N  7.912352°
E 16.221314°		 ← 302.52 m → N  7.912352°
E 16.224060°		 →
↑
302.50 m
↓
↑
302.50 m
↓
N  7.909632°
E 16.221314°		 ← 302.52 m →
91 511 m²		 N  7.909632°
E 16.224060°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71442 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 62646 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.545063018798828 y=0.477954864501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.545063018798828 × 217)
    floor (0.545063018798828 × 131072)
    floor (71442.5)     		tx = 71442
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.477954864501953 × 217)
    floor (0.477954864501953 × 131072)
    floor (62646.5)     		ty = 62646
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71442 / 62646 ti = "17/71442/62646"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71442/62646.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71442 ÷ 217
    71442 ÷ 131072     		x = 0.545059204101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 62646 ÷ 217
    62646 ÷ 131072     		y = 0.477951049804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.545059204101562 × 2 - 1) × π
    0.090118408203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.28311533
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.477951049804688 × 2 - 1) × π
    0.044097900390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.138537639901962
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28311533} λ = 0.28311533}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.138537639901962))-π/2
    2×atan(1.14859291368121)-π/2
    2×0.85444646492567-π/2
    1.70889292985134-1.57079632675     		φ = 0.13809660
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28311533} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.221314°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13809660 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.912352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71442 KachelY 62646 0.28311533 0.13809660 16.221314 7.912352
    Oben rechts KachelX + 1 71443 KachelY 62646 0.28316327 0.13809660 16.224060 7.912352
    Unten links KachelX 71442 KachelY + 1 62647 0.28311533 0.13804912 16.221314 7.909632
    Unten rechts KachelX + 1 71443 KachelY + 1 62647 0.28316327 0.13804912 16.224060 7.909632
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13809660-0.13804912) × R
    4.74800000000164e-05 × 6371000     		dl = 302.495080000104m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13809660-0.13804912) × R
    4.74800000000164e-05 × 6371000     		dr = 302.495080000104m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28311533-0.28316327) × cos(0.13809660) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.990479808674822 × 6371000     		do = 302.518028519718m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28311533-0.28316327) × cos(0.13804912) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.990486343564292 × 6371000     		du = 302.52002444317m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13809660)-sin(0.13804912))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990479808674822-0.990486343564292)×R²
    abs(0.28316327-0.28311533)×6.53488947077729e-06×R²
    4.79400000000241e-05×6.53488947077729e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×6.53488947077729e-06×40589641000000     		ar = 91510.5171342581m²