Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71441 / 62648
↖ ↑ ↗
← N  7.906912°
E 16.218567°		 ← 302.52 m → N  7.906912°
E 16.221314°		 →
↑
302.50 m
↓
↑
302.50 m
↓
N  7.904191°
E 16.218567°		 ← 302.52 m →
91 512 m²		 N  7.904191°
E 16.221314°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71441 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 62648 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.545055389404297 y=0.477970123291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.545055389404297 × 217)
    floor (0.545055389404297 × 131072)
    floor (71441.5)     		tx = 71441
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.477970123291016 × 217)
    floor (0.477970123291016 × 131072)
    floor (62648.5)     		ty = 62648
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71441 / 62648 ti = "17/71441/62648"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71441/62648.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71441 ÷ 217
    71441 ÷ 131072     		x = 0.545051574707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 62648 ÷ 217
    62648 ÷ 131072     		y = 0.47796630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.545051574707031 × 2 - 1) × π
    0.0901031494140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.28306739
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.47796630859375 × 2 - 1) × π
    0.0440673828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.138441766102722
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28306739} λ = 0.28306739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.138441766102722))-π/2
    2×atan(1.14848279899344)-π/2
    2×0.854398984081277-π/2
    1.70879796816255-1.57079632675     		φ = 0.13800164
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28306739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.218567°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13800164 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.906912°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71441 KachelY 62648 0.28306739 0.13800164 16.218567 7.906912
    Oben rechts KachelX + 1 71442 KachelY 62648 0.28311533 0.13800164 16.221314 7.906912
    Unten links KachelX 71441 KachelY + 1 62649 0.28306739 0.13795416 16.218567 7.904191
    Unten rechts KachelX + 1 71442 KachelY + 1 62649 0.28311533 0.13795416 16.221314 7.904191
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13800164-0.13795416) × R
    4.74800000000164e-05 × 6371000     		dl = 302.495080000104m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13800164-0.13795416) × R
    4.74800000000164e-05 × 6371000     		dr = 302.495080000104m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28306739-0.28311533) × cos(0.13800164) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.99049287622086 × 6371000     		do = 302.522019684636m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28306739-0.28311533) × cos(0.13795416) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.990499406644509 × 6371000     		du = 302.524014244112m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13800164)-sin(0.13795416))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99049287622086-0.990499406644509)×R²
    abs(0.28311533-0.28306739)×6.53042364939793e-06×R²
    4.79400000000241e-05×6.53042364939793e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×6.53042364939793e-06×40589641000000     		ar = 91511.72423569m²