Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71440 / 62654
↖ ↑ ↗
← N  7.890589°
E 16.215821°		 ← 302.47 m → N  7.890589°
E 16.218567°		 →
↑
302.50 m
↓
↑
302.50 m
↓
N  7.887868°
E 16.215821°		 ← 302.47 m →
91 496 m²		 N  7.887868°
E 16.218567°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 62654 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.545047760009766 y=0.478015899658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.545047760009766 × 217)
    floor (0.545047760009766 × 131072)
    floor (71440.5)     		tx = 71440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.478015899658203 × 217)
    floor (0.478015899658203 × 131072)
    floor (62654.5)     		ty = 62654
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71440 / 62654 ti = "17/71440/62654"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71440/62654.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71440 ÷ 217
    71440 ÷ 131072     		x = 0.5450439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 62654 ÷ 217
    62654 ÷ 131072     		y = 0.478012084960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5450439453125 × 2 - 1) × π
    0.090087890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.28301946
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.478012084960938 × 2 - 1) × π
    0.043975830078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.138154144705002
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28301946} λ = 0.28301946}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.138154144705002))-π/2
    2×atan(1.14815251826571)-π/2
    2×0.854256537792463-π/2
    1.70851307558493-1.57079632675     		φ = 0.13771675
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28301946} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.215821°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13771675 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.890589°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71440 KachelY 62654 0.28301946 0.13771675 16.215821 7.890589
    Oben rechts KachelX + 1 71441 KachelY 62654 0.28306739 0.13771675 16.218567 7.890589
    Unten links KachelX 71440 KachelY + 1 62655 0.28301946 0.13766927 16.215821 7.887868
    Unten rechts KachelX + 1 71441 KachelY + 1 62655 0.28306739 0.13766927 16.218567 7.887868
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13771675-0.13766927) × R
    4.74799999999886e-05 × 6371000     		dl = 302.495079999928m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13771675-0.13766927) × R
    4.74799999999886e-05 × 6371000     		dr = 302.495079999928m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28301946-0.28306739) × cos(0.13771675) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.99053202664129 × 6371000     		do = 302.470870435033m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28301946-0.28306739) × cos(0.13766927) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.990538543666652 × 6371000     		du = 302.472860487127m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13771675)-sin(0.13766927))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99053202664129-0.990538543666652)×R²
    abs(0.28306739-0.28301946)×6.51702536214049e-06×R²
    4.79299999999738e-05×6.51702536214049e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×6.51702536214049e-06×40589641000000     		ar = 91496.2511575814m²