Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71440 / 62649
↖ ↑ ↗
← N  7.904191°
E 16.215821°		 ← 302.46 m → N  7.904191°
E 16.218567°		 →
↑
302.50 m
↓
↑
302.50 m
↓
N  7.901471°
E 16.215821°		 ← 302.46 m →
91 493 m²		 N  7.901471°
E 16.218567°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 62649 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.545047760009766 y=0.477977752685547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.545047760009766 × 217)
    floor (0.545047760009766 × 131072)
    floor (71440.5)     		tx = 71440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.477977752685547 × 217)
    floor (0.477977752685547 × 131072)
    floor (62649.5)     		ty = 62649
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71440 / 62649 ti = "17/71440/62649"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71440/62649.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71440 ÷ 217
    71440 ÷ 131072     		x = 0.5450439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 62649 ÷ 217
    62649 ÷ 131072     		y = 0.477973937988281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5450439453125 × 2 - 1) × π
    0.090087890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.28301946
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.477973937988281 × 2 - 1) × π
    0.0440521240234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.138393829203102
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28301946} λ = 0.28301946}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.138393829203102))-π/2
    2×atan(1.14842774560834)-π/2
    2×0.854375243424222-π/2
    1.70875048684844-1.57079632675     		φ = 0.13795416
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28301946} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.215821°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13795416 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.904191°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71440 KachelY 62649 0.28301946 0.13795416 16.215821 7.904191
    Oben rechts KachelX + 1 71441 KachelY 62649 0.28306739 0.13795416 16.218567 7.904191
    Unten links KachelX 71440 KachelY + 1 62650 0.28301946 0.13790668 16.215821 7.901471
    Unten rechts KachelX + 1 71441 KachelY + 1 62650 0.28306739 0.13790668 16.218567 7.901471
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13795416-0.13790668) × R
    4.74799999999886e-05 × 6371000     		dl = 302.495079999928m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13795416-0.13790668) × R
    4.74799999999886e-05 × 6371000     		dr = 302.495079999928m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28301946-0.28306739) × cos(0.13795416) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.990499406644509 × 6371000     		do = 302.460909526598m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28301946-0.28306739) × cos(0.13790668) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.990505934835226 × 6371000     		du = 302.462902988167m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13795416)-sin(0.13790668))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990499406644509-0.990505934835226)×R²
    abs(0.28306739-0.28301946)×6.52819071678135e-06×R²
    4.79299999999738e-05×6.52819071678135e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×6.52819071678135e-06×40589641000000     		ar = 91493.2385474542m²