Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7144 / 5607
↖ ↑ ↗
← N 49.282140°
W 23.027344°		 ← 1 593.84 m → N 49.282140°
W 23.005371°		 →
↑
1 594.09 m
↓
↑
1 594.09 m
↓
N 49.267804°
W 23.027344°		 ← 1 594.30 m →
2 541 083 m²		 N 49.267804°
W 23.005371°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7144 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5607 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436065673828125 y=0.342254638671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436065673828125 × 214)
    floor (0.436065673828125 × 16384)
    floor (7144.5)     		tx = 7144
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342254638671875 × 214)
    floor (0.342254638671875 × 16384)
    floor (5607.5)     		ty = 5607
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7144 / 5607 ti = "14/7144/5607"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7144/5607.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7144 ÷ 214
    7144 ÷ 16384     		x = 0.43603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5607 ÷ 214
    5607 ÷ 16384     		y = 0.34222412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43603515625 × 2 - 1) × π
    -0.1279296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40190297
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34222412109375 × 2 - 1) × π
    0.3155517578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.991335084142761
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40190297} λ = -0.40190297}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.991335084142761))-π/2
    2×atan(2.6948298963805)-π/2
    2×1.21546596749677-π/2
    2.43093193499355-1.57079632675     		φ = 0.86013561
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40190297} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.027344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86013561 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.282140°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7144 KachelY 5607 -0.40190297 0.86013561 -23.027344 49.282140
    Oben rechts KachelX + 1 7145 KachelY 5607 -0.40151947 0.86013561 -23.005371 49.282140
    Unten links KachelX 7144 KachelY + 1 5608 -0.40190297 0.85988540 -23.027344 49.267804
    Unten rechts KachelX + 1 7145 KachelY + 1 5608 -0.40151947 0.85988540 -23.005371 49.267804
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86013561-0.85988540) × R
    0.000250210000000028 × 6371000     		dl = 1594.08791000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86013561-0.85988540) × R
    0.000250210000000028 × 6371000     		dr = 1594.08791000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40190297--0.40151947) × cos(0.86013561) × R
    0.000383500000000037 × 0.652334691135227 × 6371000     		do = 1593.83532565499m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40190297--0.40151947) × cos(0.85988540) × R
    0.000383500000000037 × 0.652524312637287 × 6371000     		du = 1594.29862379411m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86013561)-sin(0.85988540))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652334691135227-0.652524312637287)×R²
    abs(-0.40151947--0.40190297)×0.000189621502060144×R²
    0.000383500000000037×0.000189621502060144×6371000²
    0.000383500000000037×0.000189621502060144×40589641000000     		ar = 2541082.90539544m²