Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71437 / 62652
↖ ↑ ↗
← N  7.896029°
E 16.207580°		 ← 302.53 m → N  7.896029°
E 16.210327°		 →
↑
302.50 m
↓
↑
302.50 m
↓
N  7.893309°
E 16.207580°		 ← 302.53 m →
91 514 m²		 N  7.893309°
E 16.210327°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71437 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 62652 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.545024871826172 y=0.478000640869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.545024871826172 × 217)
    floor (0.545024871826172 × 131072)
    floor (71437.5)     		tx = 71437
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.478000640869141 × 217)
    floor (0.478000640869141 × 131072)
    floor (62652.5)     		ty = 62652
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71437 / 62652 ti = "17/71437/62652"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71437/62652.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71437 ÷ 217
    71437 ÷ 131072     		x = 0.545021057128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 62652 ÷ 217
    62652 ÷ 131072     		y = 0.477996826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.545021057128906 × 2 - 1) × π
    0.0900421142578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.28287564
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.477996826171875 × 2 - 1) × π
    0.04400634765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.138250018504242
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28287564} λ = 0.28287564}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.138250018504242))-π/2
    2×atan(1.1482626012867)-π/2
    2×0.854304020514253-π/2
    1.70860804102851-1.57079632675     		φ = 0.13781171
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28287564} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.207580°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13781171 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.896029°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71437 KachelY 62652 0.28287564 0.13781171 16.207580 7.896029
    Oben rechts KachelX + 1 71438 KachelY 62652 0.28292358 0.13781171 16.210327 7.896029
    Unten links KachelX 71437 KachelY + 1 62653 0.28287564 0.13776423 16.207580 7.893309
    Unten rechts KachelX + 1 71438 KachelY + 1 62653 0.28292358 0.13776423 16.210327 7.893309
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13781171-0.13776423) × R
    4.74800000000164e-05 × 6371000     		dl = 302.495080000104m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13781171-0.13776423) × R
    4.74800000000164e-05 × 6371000     		dr = 302.495080000104m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28287564-0.28292358) × cos(0.13781171) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.990518985891562 × 6371000     		do = 302.529994250132m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28287564-0.28292358) × cos(0.13776423) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.990525507382921 × 6371000     		du = 302.531986081456m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13781171)-sin(0.13776423))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990518985891562-0.990525507382921)×R²
    abs(0.28292358-0.28287564)×6.52149135993429e-06×R²
    4.79400000000241e-05×6.52149135993429e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×6.52149135993429e-06×40589641000000     		ar = 91514.1360898787m²