Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 71434 / 62650
↖ ↑ ↗
← N  7.901471°
E 16.199341°		 ← 302.53 m → N  7.901471°
E 16.202087°		 →
↑
302.50 m
↓
↑
302.50 m
↓
N  7.898750°
E 16.199341°		 ← 302.53 m →
91 513 m²		 N  7.898750°
E 16.202087°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71434 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 62650 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.545001983642578 y=0.477985382080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.545001983642578 × 217)
    floor (0.545001983642578 × 131072)
    floor (71434.5)     		tx = 71434
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.477985382080078 × 217)
    floor (0.477985382080078 × 131072)
    floor (62650.5)     		ty = 62650
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71434 / 62650 ti = "17/71434/62650"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71434/62650.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71434 ÷ 217
    71434 ÷ 131072     		x = 0.544998168945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 62650 ÷ 217
    62650 ÷ 131072     		y = 0.477981567382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.544998168945312 × 2 - 1) × π
    0.089996337890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.28273183
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.477981567382812 × 2 - 1) × π
    0.044036865234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.138345892303482
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28273183} λ = 0.28273183}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.138345892303482))-π/2
    2×atan(1.14837269486227)-π/2
    2×0.854351502610665-π/2
    1.70870300522133-1.57079632675     		φ = 0.13790668
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28273183} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.199341°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13790668 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.901471°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71434 KachelY 62650 0.28273183 0.13790668 16.199341 7.901471
    Oben rechts KachelX + 1 71435 KachelY 62650 0.28277977 0.13790668 16.202087 7.901471
    Unten links KachelX 71434 KachelY + 1 62651 0.28273183 0.13785920 16.199341 7.898750
    Unten rechts KachelX + 1 71435 KachelY + 1 62651 0.28277977 0.13785920 16.202087 7.898750
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13790668-0.13785920) × R
    4.74800000000164e-05 × 6371000     		dl = 302.495080000104m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13790668-0.13785920) × R
    4.74800000000164e-05 × 6371000     		dr = 302.495080000104m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28273183-0.28277977) × cos(0.13790668) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.990505934835226 × 6371000     		do = 302.526008121242m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28273183-0.28277977) × cos(0.13785920) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.990512460792995 × 6371000     		du = 302.528001316723m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13790668)-sin(0.13785920))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990505934835226-0.990512460792995)×R²
    abs(0.28277977-0.28273183)×6.52595776917675e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.52595776917675e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.52595776917675e-06×40589641000000     		ar = 91512.9305118714m²