Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71430 / 62626
↖ ↑ ↗
← N  7.966758°
E 16.188355°		 ← 302.41 m → N  7.966758°
E 16.191101°		 →
↑
302.43 m
↓
↑
302.43 m
↓
N  7.964038°
E 16.188355°		 ← 302.42 m →
91 460 m²		 N  7.964038°
E 16.191101°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71430 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 62626 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.544971466064453 y=0.477802276611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.544971466064453 × 217)
    floor (0.544971466064453 × 131072)
    floor (71430.5)     		tx = 71430
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.477802276611328 × 217)
    floor (0.477802276611328 × 131072)
    floor (62626.5)     		ty = 62626
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71430 / 62626 ti = "17/71430/62626"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71430/62626.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71430 ÷ 217
    71430 ÷ 131072     		x = 0.544967651367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 62626 ÷ 217
    62626 ÷ 131072     		y = 0.477798461914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.544967651367188 × 2 - 1) × π
    0.089935302734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.28254009
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.477798461914062 × 2 - 1) × π
    0.044403076171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.139496377894363
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28254009} λ = 0.28254009}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.139496377894363))-π/2
    2×atan(1.14969464139508)-π/2
    2×0.854921238835203-π/2
    1.70984247767041-1.57079632675     		φ = 0.13904615
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28254009} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.188355°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13904615 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.966758°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71430 KachelY 62626 0.28254009 0.13904615 16.188355 7.966758
    Oben rechts KachelX + 1 71431 KachelY 62626 0.28258802 0.13904615 16.191101 7.966758
    Unten links KachelX 71430 KachelY + 1 62627 0.28254009 0.13899868 16.188355 7.964038
    Unten rechts KachelX + 1 71431 KachelY + 1 62627 0.28258802 0.13899868 16.191101 7.964038
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13904615-0.13899868) × R
    4.74699999999939e-05 × 6371000     		dl = 302.431369999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13904615-0.13899868) × R
    4.74699999999939e-05 × 6371000     		dr = 302.431369999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28254009-0.28258802) × cos(0.13904615) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.990348648928369 × 6371000     		do = 302.414873844359m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28254009-0.28258802) × cos(0.13899868) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.990355227084939 × 6371000     		du = 302.416882563603m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13904615)-sin(0.13899868))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990348648928369-0.990355227084939)×R²
    abs(0.28258802-0.28254009)×6.57815656979199e-06×R²
    4.79299999999738e-05×6.57815656979199e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×6.57815656979199e-06×40589641000000     		ar = 91460.0483721022m²