Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7143 / 5667
↖ ↑ ↗
← N 48.414619°
W 23.049316°		 ← 1 621.65 m → N 48.414619°
W 23.027344°		 →
↑
1 621.87 m
↓
↑
1 621.87 m
↓
N 48.400033°
W 23.049316°		 ← 1 622.11 m →
2 630 472 m²		 N 48.400033°
W 23.027344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7143 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5667 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436004638671875 y=0.345916748046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436004638671875 × 214)
    floor (0.436004638671875 × 16384)
    floor (7143.5)     		tx = 7143
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345916748046875 × 214)
    floor (0.345916748046875 × 16384)
    floor (5667.5)     		ty = 5667
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7143 / 5667 ti = "14/7143/5667"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7143/5667.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7143 ÷ 214
    7143 ÷ 16384     		x = 0.43597412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5667 ÷ 214
    5667 ÷ 16384     		y = 0.34588623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43597412109375 × 2 - 1) × π
    -0.1280517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.40228646
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34588623046875 × 2 - 1) × π
    0.3082275390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.968325372325134
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40228646} λ = -0.40228646}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.968325372325134))-π/2
    2×atan(2.63353058139037)-π/2
    2×1.20789541387456-π/2
    2.41579082774913-1.57079632675     		φ = 0.84499450
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40228646} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.049316°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84499450 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.414619°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7143 KachelY 5667 -0.40228646 0.84499450 -23.049316 48.414619
    Oben rechts KachelX + 1 7144 KachelY 5667 -0.40190297 0.84499450 -23.027344 48.414619
    Unten links KachelX 7143 KachelY + 1 5668 -0.40228646 0.84473993 -23.049316 48.400033
    Unten rechts KachelX + 1 7144 KachelY + 1 5668 -0.40190297 0.84473993 -23.027344 48.400033
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84499450-0.84473993) × R
    0.000254569999999954 × 6371000     		dl = 1621.86546999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84499450-0.84473993) × R
    0.000254569999999954 × 6371000     		dr = 1621.86546999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40228646--0.40190297) × cos(0.84499450) × R
    0.000383489999999986 × 0.66373539631797 × 6371000     		do = 1621.64813693052m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40228646--0.40190297) × cos(0.84473993) × R
    0.000383489999999986 × 0.663925784885643 × 6371000     		du = 1622.1132970949m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84499450)-sin(0.84473993))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.66373539631797-0.663925784885643)×R²
    abs(-0.40190297--0.40228646)×0.000190388567673727×R²
    0.000383489999999986×0.000190388567673727×6371000²
    0.000383489999999986×0.000190388567673727×40589641000000     		ar = 2630472.34558704m²