Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7142 / 9164
↖ ↑ ↗
← N 78.120932°
W140.767822°		 ← 125.73 m → N 78.120932°
W140.762329°		 →
↑
125.76 m
↓
↑
125.76 m
↓
N 78.119801°
W140.767822°		 ← 125.74 m →
15 813 m²		 N 78.119801°
W140.762329°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7142 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9164 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108985900878906 y=0.139839172363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108985900878906 × 216)
    floor (0.108985900878906 × 65536)
    floor (7142.5)     		tx = 7142
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139839172363281 × 216)
    floor (0.139839172363281 × 65536)
    floor (9164.5)     		ty = 9164
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7142 / 9164 ti = "16/7142/9164"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7142/9164.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7142 ÷ 216
    7142 ÷ 65536     		x = 0.108978271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9164 ÷ 216
    9164 ÷ 65536     		y = 0.13983154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.108978271484375 × 2 - 1) × π
    -0.78204345703125 × 3.1415926535     		Λ = -2.45686198
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13983154296875 × 2 - 1) × π
    0.7203369140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.26300515726361
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45686198} λ = -2.45686198}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26300515726361))-π/2
    2×atan(9.61193117245722)-π/2
    2×1.46713190090583-π/2
    2.93426380181166-1.57079632675     		φ = 1.36346748
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45686198} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.767822°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36346748 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.120932°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7142 KachelY 9164 -2.45686198 1.36346748 -140.767822 78.120932
    Oben rechts KachelX + 1 7143 KachelY 9164 -2.45676611 1.36346748 -140.762329 78.120932
    Unten links KachelX 7142 KachelY + 1 9165 -2.45686198 1.36344774 -140.767822 78.119801
    Unten rechts KachelX + 1 7143 KachelY + 1 9165 -2.45676611 1.36344774 -140.762329 78.119801
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36346748-1.36344774) × R
    1.97399999999348e-05 × 6371000     		dl = 125.763539999585m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36346748-1.36344774) × R
    1.97399999999348e-05 × 6371000     		dr = 125.763539999585m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45686198--2.45676611) × cos(1.36346748) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.205846688853785 × 6371000     		do = 125.728640046884m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45686198--2.45676611) × cos(1.36344774) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.205866006066837 × 6371000     		du = 125.740438764367m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36346748)-sin(1.36344774))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205846688853785-0.205866006066837)×R²
    abs(-2.45676611--2.45686198)×1.93172130517338e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.93172130517338e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.93172130517338e-05×40589641000000     		ar = 15812.8207762178m²