Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7142 / 5574
↖ ↑ ↗
← N 49.752880°
W 23.071289°		 ← 1 578.57 m → N 49.752880°
W 23.049316°		 →
↑
1 578.80 m
↓
↑
1 578.80 m
↓
N 49.738682°
W 23.071289°		 ← 1 579.03 m →
2 492 603 m²		 N 49.738682°
W 23.049316°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7142 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5574 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435943603515625 y=0.340240478515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435943603515625 × 214)
    floor (0.435943603515625 × 16384)
    floor (7142.5)     		tx = 7142
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340240478515625 × 214)
    floor (0.340240478515625 × 16384)
    floor (5574.5)     		ty = 5574
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7142 / 5574 ti = "14/7142/5574"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7142/5574.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7142 ÷ 214
    7142 ÷ 16384     		x = 0.4359130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5574 ÷ 214
    5574 ÷ 16384     		y = 0.3402099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4359130859375 × 2 - 1) × π
    -0.128173828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.40266996
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3402099609375 × 2 - 1) × π
    0.319580078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.00399042564246
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40266996} λ = -0.40266996}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00399042564246))-π/2
    2×atan(2.7291506010628)-π/2
    2×1.21957394698835-π/2
    2.4391478939767-1.57079632675     		φ = 0.86835157
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40266996} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.071289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86835157 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.752880°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7142 KachelY 5574 -0.40266996 0.86835157 -23.071289 49.752880
    Oben rechts KachelX + 1 7143 KachelY 5574 -0.40228646 0.86835157 -23.049316 49.752880
    Unten links KachelX 7142 KachelY + 1 5575 -0.40266996 0.86810376 -23.071289 49.738682
    Unten rechts KachelX + 1 7143 KachelY + 1 5575 -0.40228646 0.86810376 -23.049316 49.738682
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86835157-0.86810376) × R
    0.000247809999999959 × 6371000     		dl = 1578.79750999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86835157-0.86810376) × R
    0.000247809999999959 × 6371000     		dr = 1578.79750999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40266996--0.40228646) × cos(0.86835157) × R
    0.000383499999999981 × 0.64608561331874 × 6371000     		do = 1578.56708818091m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40266996--0.40228646) × cos(0.86810376) × R
    0.000383499999999981 × 0.646274738165481 × 6371000     		du = 1579.02917285277m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86835157)-sin(0.86810376))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.64608561331874-0.646274738165481)×R²
    abs(-0.40228646--0.40266996)×0.000189124846740607×R²
    0.000383499999999981×0.000189124846740607×6371000²
    0.000383499999999981×0.000189124846740607×40589641000000     		ar = 2492602.5700085m²