Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7142 / 5474
↖ ↑ ↗
← N 51.151786°
W 23.071289°		 ← 1 532.57 m → N 51.151786°
W 23.049316°		 →
↑
1 532.80 m
↓
↑
1 532.80 m
↓
N 51.138002°
W 23.071289°		 ← 1 533.03 m →
2 349 471 m²		 N 51.138002°
W 23.049316°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7142 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5474 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435943603515625 y=0.334136962890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435943603515625 × 214)
    floor (0.435943603515625 × 16384)
    floor (7142.5)     		tx = 7142
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334136962890625 × 214)
    floor (0.334136962890625 × 16384)
    floor (5474.5)     		ty = 5474
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7142 / 5474 ti = "14/7142/5474"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7142/5474.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7142 ÷ 214
    7142 ÷ 16384     		x = 0.4359130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5474 ÷ 214
    5474 ÷ 16384     		y = 0.3341064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4359130859375 × 2 - 1) × π
    -0.128173828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.40266996
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3341064453125 × 2 - 1) × π
    0.331787109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.0423399453385
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40266996} λ = -0.40266996}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0423399453385))-π/2
    2×atan(2.83584497902923)-π/2
    2×1.23178170626102-π/2
    2.46356341252204-1.57079632675     		φ = 0.89276709
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40266996} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.071289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89276709 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.151786°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7142 KachelY 5474 -0.40266996 0.89276709 -23.071289 51.151786
    Oben rechts KachelX + 1 7143 KachelY 5474 -0.40228646 0.89276709 -23.049316 51.151786
    Unten links KachelX 7142 KachelY + 1 5475 -0.40266996 0.89252650 -23.071289 51.138002
    Unten rechts KachelX + 1 7143 KachelY + 1 5475 -0.40228646 0.89252650 -23.049316 51.138002
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89276709-0.89252650) × R
    0.000240589999999985 × 6371000     		dl = 1532.7988899999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89276709-0.89252650) × R
    0.000240589999999985 × 6371000     		dr = 1532.7988899999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40266996--0.40228646) × cos(0.89276709) × R
    0.000383499999999981 × 0.627259392220409 × 6371000     		do = 1532.56938693512m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40266996--0.40228646) × cos(0.89252650) × R
    0.000383499999999981 × 0.627446748061166 × 6371000     		du = 1533.02714943269m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89276709)-sin(0.89252650))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.627259392220409-0.627446748061166)×R²
    abs(-0.40228646--0.40266996)×0.000187355840757464×R²
    0.000383499999999981×0.000187355840757464×6371000²
    0.000383499999999981×0.000187355840757464×40589641000000     		ar = 2349471.49539963m²