Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71413 / 62635
↖ ↑ ↗
← N  7.942276°
E 16.141663°		 ← 302.50 m → N  7.942276°
E 16.144409°		 →
↑
302.50 m
↓
↑
302.50 m
↓
N  7.939556°
E 16.141663°		 ← 302.50 m →
91 504 m²		 N  7.939556°
E 16.144409°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71413 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 62635 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.544841766357422 y=0.477870941162109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.544841766357422 × 217)
    floor (0.544841766357422 × 131072)
    floor (71413.5)     		tx = 71413
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.477870941162109 × 217)
    floor (0.477870941162109 × 131072)
    floor (62635.5)     		ty = 62635
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71413 / 62635 ti = "17/71413/62635"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71413/62635.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71413 ÷ 217
    71413 ÷ 131072     		x = 0.544837951660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 62635 ÷ 217
    62635 ÷ 131072     		y = 0.477867126464844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.544837951660156 × 2 - 1) × π
    0.0896759033203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.28172516
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.477867126464844 × 2 - 1) × π
    0.0442657470703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.139064945797783
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28172516} λ = 0.28172516}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.139064945797783))-π/2
    2×atan(1.14919873320856)-π/2
    2×0.854707598357409-π/2
    1.70941519671482-1.57079632675     		φ = 0.13861887
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28172516} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.141663°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13861887 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.942276°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71413 KachelY 62635 0.28172516 0.13861887 16.141663 7.942276
    Oben rechts KachelX + 1 71414 KachelY 62635 0.28177310 0.13861887 16.144409 7.942276
    Unten links KachelX 71413 KachelY + 1 62636 0.28172516 0.13857139 16.141663 7.939556
    Unten rechts KachelX + 1 71414 KachelY + 1 62636 0.28177310 0.13857139 16.144409 7.939556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13861887-0.13857139) × R
    4.74800000000164e-05 × 6371000     		dl = 302.495080000104m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13861887-0.13857139) × R
    4.74800000000164e-05 × 6371000     		dr = 302.495080000104m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28172516-0.28177310) × cos(0.13861887) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.990407778904997 × 6371000     		do = 302.496028773967m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28172516-0.28177310) × cos(0.13857139) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.990414338354961 × 6371000     		du = 302.498032198826m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13861887)-sin(0.13857139))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990407778904997-0.990414338354961)×R²
    abs(0.28177310-0.28172516)×6.55944996319491e-06×R²
    4.79400000000241e-05×6.55944996319491e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×6.55944996319491e-06×40589641000000     		ar = 91503.8634539678m²