Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7141 / 5665
↖ ↑ ↗
← N 48.443778°
W 23.093262°		 ← 1 620.72 m → N 48.443778°
W 23.071289°		 →
↑
1 620.97 m
↓
↑
1 620.97 m
↓
N 48.429200°
W 23.093262°		 ← 1 621.18 m →
2 627 518 m²		 N 48.429200°
W 23.071289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7141 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5665 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435882568359375 y=0.345794677734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435882568359375 × 214)
    floor (0.435882568359375 × 16384)
    floor (7141.5)     		tx = 7141
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345794677734375 × 214)
    floor (0.345794677734375 × 16384)
    floor (5665.5)     		ty = 5665
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7141 / 5665 ti = "14/7141/5665"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7141/5665.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7141 ÷ 214
    7141 ÷ 16384     		x = 0.43585205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5665 ÷ 214
    5665 ÷ 16384     		y = 0.34576416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43585205078125 × 2 - 1) × π
    -0.1282958984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.40305345
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34576416015625 × 2 - 1) × π
    0.3084716796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.969092362719055
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40305345} λ = -0.40305345}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.969092362719055))-π/2
    2×atan(2.63555124886561)-π/2
    2×1.20814988020125-π/2
    2.4162997604025-1.57079632675     		φ = 0.84550343
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40305345} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.093262°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84550343 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.443778°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7141 KachelY 5665 -0.40305345 0.84550343 -23.093262 48.443778
    Oben rechts KachelX + 1 7142 KachelY 5665 -0.40266996 0.84550343 -23.071289 48.443778
    Unten links KachelX 7141 KachelY + 1 5666 -0.40305345 0.84524900 -23.093262 48.429200
    Unten rechts KachelX + 1 7142 KachelY + 1 5666 -0.40266996 0.84524900 -23.071289 48.429200
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84550343-0.84524900) × R
    0.000254429999999917 × 6371000     		dl = 1620.97352999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84550343-0.84524900) × R
    0.000254429999999917 × 6371000     		dr = 1620.97352999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40305345--0.40266996) × cos(0.84550343) × R
    0.000383489999999986 × 0.663354647297183 × 6371000     		do = 1620.71788529165m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40305345--0.40266996) × cos(0.84524900) × R
    0.000383489999999986 × 0.663545017105883 × 6371000     		du = 1621.18299962384m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84550343)-sin(0.84524900))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663354647297183-0.663545017105883)×R²
    abs(-0.40266996--0.40305345)×0.000190369808700019×R²
    0.000383489999999986×0.000190369808700019×6371000²
    0.000383489999999986×0.000190369808700019×40589641000000     		ar = 2627517.77483956m²