Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7141 / 1117
↖ ↑ ↗
← N 78.376004°
E133.813477°		 ← 984.57 m → N 78.376004°
E133.857422°		 →
↑
984.89 m
↓
↑
984.89 m
↓
N 78.367146°
E133.813477°		 ← 985.31 m →
970 061 m²		 N 78.367146°
E133.857422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7141 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1117 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.87176513671875 y=0.13641357421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.87176513671875 × 213)
    floor (0.87176513671875 × 8192)
    floor (7141.5)     		tx = 7141
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.13641357421875 × 213)
    floor (0.13641357421875 × 8192)
    floor (1117.5)     		ty = 1117
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7141 / 1117 ti = "13/7141/1117"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7141/1117.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7141 ÷ 213
    7141 ÷ 8192     		x = 0.8717041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1117 ÷ 213
    1117 ÷ 8192     		y = 0.1363525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8717041015625 × 2 - 1) × π
    0.743408203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.33548575
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1363525390625 × 2 - 1) × π
    0.727294921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.28486438349036
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33548575} λ = 2.33548575}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28486438349036))-π/2
    2×atan(9.82435378909894)-π/2
    2×1.46935782579533-π/2
    2.93871565159066-1.57079632675     		φ = 1.36791932
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33548575} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.813477°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36791932 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.376004°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7141 KachelY 1117 2.33548575 1.36791932 133.813477 78.376004
    Oben rechts KachelX + 1 7142 KachelY 1117 2.33625274 1.36791932 133.857422 78.376004
    Unten links KachelX 7141 KachelY + 1 1118 2.33548575 1.36776473 133.813477 78.367146
    Unten rechts KachelX + 1 7142 KachelY + 1 1118 2.33625274 1.36776473 133.857422 78.367146
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36791932-1.36776473) × R
    0.000154589999999954 × 6371000     		dl = 984.89288999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36791932-1.36776473) × R
    0.000154589999999954 × 6371000     		dr = 984.89288999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33548575-2.33625274) × cos(1.36791932) × R
    0.000766989999999801 × 0.201488162900009 × 6371000     		do = 984.570556025067m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33548575-2.33625274) × cos(1.36776473) × R
    0.000766989999999801 × 0.201639579997705 × 6371000     		du = 985.310454656949m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36791932)-sin(1.36776473))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201488162900009-0.201639579997705)×R²
    abs(2.33625274-2.33548575)×0.000151417097695755×R²
    0.000766989999999801×0.000151417097695755×6371000²
    0.000766989999999801×0.000151417097695755×40589641000000     		ar = 970060.902717503m²