Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71407 / 62631
↖ ↑ ↗
← N  7.953157°
E 16.125183°		 ← 302.42 m → N  7.953157°
E 16.127929°		 →
↑
302.50 m
↓
↑
302.50 m
↓
N  7.950437°
E 16.125183°		 ← 302.43 m →
91 482 m²		 N  7.950437°
E 16.127929°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71407 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 62631 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.544795989990234 y=0.477840423583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.544795989990234 × 217)
    floor (0.544795989990234 × 131072)
    floor (71407.5)     		tx = 71407
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.477840423583984 × 217)
    floor (0.477840423583984 × 131072)
    floor (62631.5)     		ty = 62631
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71407 / 62631 ti = "17/71407/62631"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71407/62631.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71407 ÷ 217
    71407 ÷ 131072     		x = 0.544792175292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 62631 ÷ 217
    62631 ÷ 131072     		y = 0.477836608886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.544792175292969 × 2 - 1) × π
    0.0895843505859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.28143754
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.477836608886719 × 2 - 1) × π
    0.0443267822265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.139256693396263
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28143754} λ = 0.28143754}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.139256693396263))-π/2
    2×atan(1.14941911043356)-π/2
    2×0.854802551255516-π/2
    1.70960510251103-1.57079632675     		φ = 0.13880878
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28143754} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.125183°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13880878 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.953157°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71407 KachelY 62631 0.28143754 0.13880878 16.125183 7.953157
    Oben rechts KachelX + 1 71408 KachelY 62631 0.28148547 0.13880878 16.127929 7.953157
    Unten links KachelX 71407 KachelY + 1 62632 0.28143754 0.13876130 16.125183 7.950437
    Unten rechts KachelX + 1 71408 KachelY + 1 62632 0.28148547 0.13876130 16.127929 7.950437
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13880878-0.13876130) × R
    4.74799999999886e-05 × 6371000     		dl = 302.495079999928m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13880878-0.13876130) × R
    4.74799999999886e-05 × 6371000     		dr = 302.495079999928m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28143754-0.28148547) × cos(0.13880878) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.990381520161665 × 6371000     		do = 302.424911471237m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28143754-0.28148547) × cos(0.13876130) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.990388088541974 × 6371000     		du = 302.426917205182m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13880878)-sin(0.13876130))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990381520161665-0.990388088541974)×R²
    abs(0.28148547-0.28143754)×6.56838030888007e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.56838030888007e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.56838030888007e-06×40589641000000     		ar = 91482.3511689527m²