Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71406 / 62630
↖ ↑ ↗
← N  7.955877°
E 16.122436°		 ← 302.49 m → N  7.955877°
E 16.125183°		 →
↑
302.43 m
↓
↑
302.43 m
↓
N  7.953157°
E 16.122436°		 ← 302.49 m →
91 482 m²		 N  7.953157°
E 16.125183°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71406 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 62630 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.544788360595703 y=0.477832794189453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.544788360595703 × 217)
    floor (0.544788360595703 × 131072)
    floor (71406.5)     		tx = 71406
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.477832794189453 × 217)
    floor (0.477832794189453 × 131072)
    floor (62630.5)     		ty = 62630
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71406 / 62630 ti = "17/71406/62630"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71406/62630.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71406 ÷ 217
    71406 ÷ 131072     		x = 0.544784545898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 62630 ÷ 217
    62630 ÷ 131072     		y = 0.477828979492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.544784545898438 × 2 - 1) × π
    0.089569091796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.28138960
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.477828979492188 × 2 - 1) × π
    0.044342041015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.139304630295883
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28138960} λ = 0.28138960}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.139304630295883))-π/2
    2×atan(1.14947421134275)-π/2
    2×0.854826289086556-π/2
    1.70965257817311-1.57079632675     		φ = 0.13885625
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28138960} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.122436°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13885625 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.955877°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71406 KachelY 62630 0.28138960 0.13885625 16.122436 7.955877
    Oben rechts KachelX + 1 71407 KachelY 62630 0.28143754 0.13885625 16.125183 7.955877
    Unten links KachelX 71406 KachelY + 1 62631 0.28138960 0.13880878 16.122436 7.953157
    Unten rechts KachelX + 1 71407 KachelY + 1 62631 0.28143754 0.13880878 16.125183 7.953157
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13885625-0.13880878) × R
    4.74699999999939e-05 × 6371000     		dl = 302.431369999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13885625-0.13880878) × R
    4.74699999999939e-05 × 6371000     		dr = 302.431369999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28138960-0.28143754) × cos(0.13885625) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.990374950932794 × 6371000     		do = 302.486002265914m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28138960-0.28143754) × cos(0.13880878) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.990381520161665 × 6371000     		du = 302.488008677503m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13885625)-sin(0.13880878))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990374950932794-0.990381520161665)×R²
    abs(0.28143754-0.28138960)×6.56922887121159e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.56922887121159e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.56922887121159e-06×40589641000000     		ar = 91481.5594892028m²