Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7140 / 9211
↖ ↑ ↗
← N 78.067669°
W140.778809°		 ← 126.30 m → N 78.067669°
W140.773315°		 →
↑
126.34 m
↓
↑
126.34 m
↓
N 78.066533°
W140.778809°		 ← 126.31 m →
15 957 m²		 N 78.066533°
W140.773315°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7140 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9211 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108955383300781 y=0.140556335449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108955383300781 × 216)
    floor (0.108955383300781 × 65536)
    floor (7140.5)     		tx = 7140
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140556335449219 × 216)
    floor (0.140556335449219 × 65536)
    floor (9211.5)     		ty = 9211
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7140 / 9211 ti = "16/7140/9211"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7140/9211.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7140 ÷ 216
    7140 ÷ 65536     		x = 0.10894775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9211 ÷ 216
    9211 ÷ 65536     		y = 0.140548706054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.10894775390625 × 2 - 1) × π
    -0.7821044921875 × 3.1415926535     		Λ = -2.45705373
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140548706054688 × 2 - 1) × π
    0.718902587890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.25849908869933
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45705373} λ = -2.45705373}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25849908869933))-π/2
    2×atan(9.56871658861922)-π/2
    2×1.46666709727632-π/2
    2.93333419455264-1.57079632675     		φ = 1.36253787
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45705373} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.778809°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36253787 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.067669°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7140 KachelY 9211 -2.45705373 1.36253787 -140.778809 78.067669
    Oben rechts KachelX + 1 7141 KachelY 9211 -2.45695785 1.36253787 -140.773315 78.067669
    Unten links KachelX 7140 KachelY + 1 9212 -2.45705373 1.36251804 -140.778809 78.066533
    Unten rechts KachelX + 1 7141 KachelY + 1 9212 -2.45695785 1.36251804 -140.773315 78.066533
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36253787-1.36251804) × R
    1.98299999998319e-05 × 6371000     		dl = 126.336929998929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36253787-1.36251804) × R
    1.98299999998319e-05 × 6371000     		dr = 126.336929998929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45705373--2.45695785) × cos(1.36253787) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.206756301486666 × 6371000     		do = 126.297392762373m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45705373--2.45695785) × cos(1.36251804) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.206775702968759 × 6371000     		du = 126.309244186424m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36253787)-sin(1.36251804))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206756301486666-0.206775702968759)×R²
    abs(-2.45695785--2.45705373)×1.94014820926736e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.94014820926736e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.94014820926736e-05×40589641000000     		ar = 15956.7735050297m²