Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7139 / 1110
↖ ↑ ↗
← N 78.437822°
E133.725586°		 ← 979.41 m → N 78.437822°
E133.769531°		 →
↑
979.80 m
↓
↑
979.80 m
↓
N 78.429011°
E133.725586°		 ← 980.14 m →
959 979 m²		 N 78.429011°
E133.769531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7139 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1110 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.87152099609375 y=0.13555908203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.87152099609375 × 213)
    floor (0.87152099609375 × 8192)
    floor (7139.5)     		tx = 7139
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.13555908203125 × 213)
    floor (0.13555908203125 × 8192)
    floor (1110.5)     		ty = 1110
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7139 / 1110 ti = "13/7139/1110"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7139/1110.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7139 ÷ 213
    7139 ÷ 8192     		x = 0.8714599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1110 ÷ 213
    1110 ÷ 8192     		y = 0.135498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8714599609375 × 2 - 1) × π
    0.742919921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.33395177
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.135498046875 × 2 - 1) × π
    0.72900390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.2902333162478
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33395177} λ = 2.33395177}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2902333162478))-π/2
    2×atan(9.87724193337953)-π/2
    2×1.46989729414963-π/2
    2.93979458829926-1.57079632675     		φ = 1.36899826
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33395177} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.725586°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36899826 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.437822°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7139 KachelY 1110 2.33395177 1.36899826 133.725586 78.437822
    Oben rechts KachelX + 1 7140 KachelY 1110 2.33471876 1.36899826 133.769531 78.437822
    Unten links KachelX 7139 KachelY + 1 1111 2.33395177 1.36884447 133.725586 78.429011
    Unten rechts KachelX + 1 7140 KachelY + 1 1111 2.33471876 1.36884447 133.769531 78.429011
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36899826-1.36884447) × R
    0.000153789999999931 × 6371000     		dl = 979.796089999563m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36899826-1.36884447) × R
    0.000153789999999931 × 6371000     		dr = 979.796089999563m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33395177-2.33471876) × cos(1.36899826) × R
    0.000766989999999801 × 0.20043123386263 × 6371000     		do = 979.405879375908m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33395177-2.33471876) × cos(1.36884447) × R
    0.000766989999999801 × 0.200581900750211 × 6371000     		du = 980.142112111097m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36899826)-sin(1.36884447))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20043123386263-0.200581900750211)×R²
    abs(2.33471876-2.33395177)×0.000150666887580864×R²
    0.000766989999999801×0.000150666887580864×6371000²
    0.000766989999999801×0.000150666887580864×40589641000000     		ar = 959978.732001515m²