Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71389 / 63075
↖ ↑ ↗
← N  6.743714°
E 16.075744°		 ← 303.31 m → N  6.743714°
E 16.078491°		 →
↑
303.32 m
↓
↑
303.32 m
↓
N  6.740986°
E 16.075744°		 ← 303.31 m →
92 002 m²		 N  6.740986°
E 16.078491°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71389 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63075 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.544658660888672 y=0.481227874755859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.544658660888672 × 217)
    floor (0.544658660888672 × 131072)
    floor (71389.5)     		tx = 71389
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.481227874755859 × 217)
    floor (0.481227874755859 × 131072)
    floor (63075.5)     		ty = 63075
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71389 / 63075 ti = "17/71389/63075"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71389/63075.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71389 ÷ 217
    71389 ÷ 131072     		x = 0.544654846191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63075 ÷ 217
    63075 ÷ 131072     		y = 0.481224060058594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.544654846191406 × 2 - 1) × π
    0.0893096923828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.28057467
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.481224060058594 × 2 - 1) × π
    0.0375518798828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.117972709964958
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28057467} λ = 0.28057467}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.117972709964958))-π/2
    2×atan(1.12521340383512)-π/2
    2×0.844248168170363-π/2
    1.68849633634073-1.57079632675     		φ = 0.11770001
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28057467} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.075744°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11770001 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.743714°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71389 KachelY 63075 0.28057467 0.11770001 16.075744 6.743714
    Oben rechts KachelX + 1 71390 KachelY 63075 0.28062261 0.11770001 16.078491 6.743714
    Unten links KachelX 71389 KachelY + 1 63076 0.28057467 0.11765240 16.075744 6.740986
    Unten rechts KachelX + 1 71390 KachelY + 1 63076 0.28062261 0.11765240 16.078491 6.740986
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11770001-0.11765240) × R
    4.76099999999896e-05 × 6371000     		dl = 303.323309999934m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11770001-0.11765240) × R
    4.76099999999896e-05 × 6371000     		dr = 303.323309999934m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28057467-0.28062261) × cos(0.11770001) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.993081346535906 × 6371000     		do = 303.312605145727m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28057467-0.28062261) × cos(0.11765240) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.993086936178547 × 6371000     		du = 303.314312366467m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11770001)-sin(0.11765240))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993081346535906-0.993086936178547)×R²
    abs(0.28062261-0.28057467)×5.58964264163464e-06×R²
    4.79399999999686e-05×5.58964264163464e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×5.58964264163464e-06×40589641000000     		ar = 92002.042294812m²