Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 7138 / 9212
↖ ↑ ↗
← N 78.066533°
W140.789795°		 ← 126.30 m → N 78.066533°
W140.784302°		 →
↑
126.27 m
↓
↑
126.27 m
↓
N 78.065398°
W140.789795°		 ← 126.31 m →
15 949 m²		 N 78.065398°
W140.784302°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7138 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9212 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108924865722656 y=0.140571594238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108924865722656 × 216)
    floor (0.108924865722656 × 65536)
    floor (7138.5)     		tx = 7138
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140571594238281 × 216)
    floor (0.140571594238281 × 65536)
    floor (9212.5)     		ty = 9212
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7138 / 9212 ti = "16/7138/9212"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7138/9212.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7138 ÷ 216
    7138 ÷ 65536     		x = 0.108917236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9212 ÷ 216
    9212 ÷ 65536     		y = 0.14056396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.108917236328125 × 2 - 1) × π
    -0.78216552734375 × 3.1415926535     		Λ = -2.45724547
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14056396484375 × 2 - 1) × π
    0.7188720703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.25840321490009
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45724547} λ = -2.45724547}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25840321490009))-π/2
    2×atan(9.56779924338141)-π/2
    2×1.46665718555528-π/2
    2.93331437111056-1.57079632675     		φ = 1.36251804
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45724547} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.789795°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36251804 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.066533°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7138 KachelY 9212 -2.45724547 1.36251804 -140.789795 78.066533
    Oben rechts KachelX + 1 7139 KachelY 9212 -2.45714960 1.36251804 -140.784302 78.066533
    Unten links KachelX 7138 KachelY + 1 9213 -2.45724547 1.36249822 -140.789795 78.065398
    Unten rechts KachelX + 1 7139 KachelY + 1 9213 -2.45714960 1.36249822 -140.784302 78.065398
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36251804-1.36249822) × R
    1.98200000001147e-05 × 6371000     		dl = 126.273220000731m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36251804-1.36249822) × R
    1.98200000001147e-05 × 6371000     		dr = 126.273220000731m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45724547--2.45714960) × cos(1.36251804) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.206775702968759 × 6371000     		do = 126.296070506468m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45724547--2.45714960) × cos(1.36249822) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.206795094585699 × 6371000     		du = 126.307914668935m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36251804)-sin(1.36249822))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206775702968759-0.206795094585699)×R²
    abs(-2.45714960--2.45724547)×1.93916169400621e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.93916169400621e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.93916169400621e-05×40589641000000     		ar = 15948.5592973314m²