Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7138 / 5470
↖ ↑ ↗
← N 51.206883°
W 23.159180°		 ← 1 530.74 m → N 51.206883°
W 23.137207°		 →
↑
1 530.89 m
↓
↑
1 530.89 m
↓
N 51.193116°
W 23.159180°		 ← 1 531.20 m →
2 343 739 m²		 N 51.193116°
W 23.137207°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7138 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5470 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435699462890625 y=0.333892822265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435699462890625 × 214)
    floor (0.435699462890625 × 16384)
    floor (7138.5)     		tx = 7138
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333892822265625 × 214)
    floor (0.333892822265625 × 16384)
    floor (5470.5)     		ty = 5470
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7138 / 5470 ti = "14/7138/5470"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7138/5470.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7138 ÷ 214
    7138 ÷ 16384     		x = 0.4356689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5470 ÷ 214
    5470 ÷ 16384     		y = 0.3338623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4356689453125 × 2 - 1) × π
    -0.128662109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.40420394
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3338623046875 × 2 - 1) × π
    0.332275390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.04387392612634
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40420394} λ = -0.40420394}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04387392612634))-π/2
    2×atan(2.84019844896029)-π/2
    2×1.23226252085071-π/2
    2.46452504170142-1.57079632675     		φ = 0.89372871
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40420394} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.159180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89372871 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.206883°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7138 KachelY 5470 -0.40420394 0.89372871 -23.159180 51.206883
    Oben rechts KachelX + 1 7139 KachelY 5470 -0.40382044 0.89372871 -23.137207 51.206883
    Unten links KachelX 7138 KachelY + 1 5471 -0.40420394 0.89348842 -23.159180 51.193116
    Unten rechts KachelX + 1 7139 KachelY + 1 5471 -0.40382044 0.89348842 -23.137207 51.193116
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89372871-0.89348842) × R
    0.000240290000000032 × 6371000     		dl = 1530.8875900002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89372871-0.89348842) × R
    0.000240290000000032 × 6371000     		dr = 1530.8875900002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40420394--0.40382044) × cos(0.89372871) × R
    0.000383499999999981 × 0.626510182651834 × 6371000     		do = 1530.73885930422m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40420394--0.40382044) × cos(0.89348842) × R
    0.000383499999999981 × 0.626697449769167 × 6371000     		du = 1531.19640502576m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89372871)-sin(0.89348842))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.626510182651834-0.626697449769167)×R²
    abs(-0.40382044--0.40420394)×0.000187267117332857×R²
    0.000383499999999981×0.000187267117332857×6371000²
    0.000383499999999981×0.000187267117332857×40589641000000     		ar = 2343739.36004944m²